Lösung Abitur Bayern 2015 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2.1 (7 BE)

Nun wird

a = \frac{1}{8}

gesetzt. Die Funktion

f_{\frac{1}{8}}

wird im Folgenden mit

f

bezeichnet.
Es gilt:

f (x) = \frac{1}{8} (x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 4)

Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle sowie Art und Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von

f

Lösung zu Teilaufgabe 2.1

Monotonieverhalten einer Funktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

f (x) = \frac{1}{8} (x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 4)

Erste Ableitung bilden:

Schritt einblenden / ausblenden

Ableitungsregel

Benötigte Ableitungsregeln:

1. Faktorregel:

f (x) = a \cdot u (x)

\Rightarrow

f^{'} (x) = a \cdot u^{'} (x)

2. Ableitung einer Summe:

f (x) = u (x) \pm v (x)

\Rightarrow

f^{'} (x) = u^{'} (x) \pm v^{'} (x)

3. Potenzregel:

f (x) = x^{n}

\Rightarrow

f^{'} (x) = n \cdot x^{n - 1}

f^{'} (x) = \frac{1}{8} (3 x^{2} + 4 x - 7)

Erste Ableitung gleich Null setzen:

f^{'} (x) = 0

\frac{1}{8} (3 x^{2} + 4 x - 7) = 0

3 x^{2} + 4 x - 7 = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Mitternachtsformel - Lösungsformel für quadratische Gleichungen

Lösungsformel für quadratische Gleichungen der Form

a x^{2} + b x + c = 0

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

x_{1, 2} = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 3} = \frac{- 4 \pm 10}{6}

x_{1} = \frac{- 4 + 10}{6} = 1

x_{2} = \frac{- 4 - 10}{6} = - \frac{7}{3}

Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung mit Hilfe einer Skizze von

f^{'}

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Parabel

Der Graph von

f^{'}

ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Nullstellen

x_{1} = 1

und

x_{2} = - \frac{7}{3}

Schritt einblenden / ausblenden

Funktionswert

Dort wo der Graph oberhalb der

x

-Achse liegt, hat die Funktion, also in diesem Fall die erste Ableitung, positive Funktionswerte und somit positives Vorzeichen.

Dort wo der Graph unterhalb der

x

-Achse liegt, hat die Funktion negative Funktionswerte und somit negatives Vorzeichen.

f^{'} (x) > 0

für

x \in] - \infty; - \frac{7}{3} [\cup] 1; \infty [

f^{'} (x) < 0

für

x \in] - \frac{7}{3}; 1 [

Schritt einblenden / ausblenden

Monotonieverhalten einer Funktion

Für stetige Funktionen besteht eine Beziehung zwischen Monotonie und Ableitung, da die Ableitung die Steigung der Funktion angibt.

Es gilt:

Ist

f^{'} (x) > 0

in einem Intervall

] a; b [

, so ist

G_{f}

für

x \in [a; b]

streng monoton steigend.

Ist

f^{'} (x) < 0

in einem Intervall

] a; b [

, so ist

G_{f}

für

x \in [a; b]

streng monoton fallend.

\Rightarrow

G_{f}

ist streng monoton steigend für

x \in] - \infty, - \frac{7}{3}] \cup [1, \infty [

\Rightarrow

G_{f}

ist streng monoton fallend für

x \in [- \frac{7}{3}, 1]

Lage von Extrempunkten ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Mögliche Extremstellen:

Schritt einblenden / ausblenden

Notwendige Bedingung

Folgende notwendige Bedingung muss für einen Extrempunkt an der Stelle

x^{E}

erfüllt sein:

f^{'} (x^{E}) = 0

daher immer der Ansatz:

f^{'} (x) = 0

x_{1}^{E} = 1

x_{2}^{E} = - \frac{7}{3}

Lage der möglichen Extrempunkte:

y_{1}^{E} = f (x_{1}^{E}) = f (1) = 0

\Rightarrow

E_{1} (1 | 0)

y_{2}^{E} = f (x_{2}^{E}) = f (- \frac{7}{3}) = \frac{125}{54}

\Rightarrow

E_{2} (- \frac{7}{3} | \frac{125}{54})

Art von Extrempunkten ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Aus dem Monotonieverhalten:

Schritt einblenden / ausblenden

Art eines Extremums

Die Art eines Extrempunkts kann durch das Vorzeichen der ersten Ableitung bestimmt werden:

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und liegt ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung von

(+)

nach

(-)

an der Stelle

x^{E}

vor, so hat der Graph der Funktion an dieser Stelle einen Hochpunkt (Maximum).

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und liegt ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung von

(-)

nach

(+)

an der Stelle

x^{E}

vor, so hat der Graph der Funktion an dieser Stelle einen Tiefpunkt (Minimum).

Vorzeichenwechsel in

f^{'}

von

(+)

nach

(-)

bei

x = - \frac{7}{3}

\Rightarrow

E_{2} (- \frac{7}{3} | \frac{125}{54})

ist Maximum

Vorzeichenwechsel in

f^{'}

von

(-)

nach

(+)

bei

x = 1

\Rightarrow

E_{1} (1 | 0)

ist Minimum.

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Teilaufgabe 4.1

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Teilaufgabe 4.3

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Monotonieverhalten einer Funktion

Lage von Extrempunkten ermitteln

Art von Extrempunkten ermitteln

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