Lösung Abitur Bayern 2015 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3.4 (5 BE)

Die Graphen

G_{f}

und

G_{p}

schließen im II. Quadranten des Koordinatensystems ein endliches Flächenstück ein. Markieren Sie dieses Flächenstück und berechnen Sie die Maßzahl seines Inhalts.

Lösung zu Teilaufgabe 3.4

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

Verläuft der Graph einer Funktion

f

oberhalb dem Graphen einer Funktion

g

, so ist der Inhalt eines Flächenstücks zwischen den zwei Funktionsgraphen

G_{f}

und

G_{g}

gegeben durch:

A = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) dx

Sind die Integrationsgrenzen

a

und

b

nicht explizit vorgegeben, so verwendet man hierfür die Schnittpunkte der beiden Graphen

G_{f}

und

G_{g}

A = \int_{- 2}^{0} (f (x) - p (x)) dx

(mit

f (x) - p (x)

aus Teilaufgabe 3.2)

A = \int_{- 2}^{0} (\frac{1}{8} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} - x) dx

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Stammfunktion

Rechenregeln für Integrale

Benötigte Regel zur Bildung der Stammfunktion von

\frac{1}{8} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} - x

(siehe auch Merkregel Mathematik):

\int x^{r} dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C

(r \neq - 1)

\Rightarrow

\int (\frac{1}{8} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} - x) dx = \frac{1}{8} \frac{x^{3 + 1}}{3 + 1} - \frac{1}{4} \frac{x^{2 + 1}}{2 + 1} - \frac{x^{1 + 1}}{1 + 1} = \frac{x^{4}}{32} - \frac{x^{3}}{12} - \frac{x^{2}}{2}

A = {[\frac{1}{32} x^{4} - \frac{1}{12} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}]}_{- 2}^{0}

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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) dx = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

A = 0 - (\frac{1}{32} \cdot (- 2)^{4} - \frac{1}{12} \cdot (- 2)^{3} - \frac{1}{2} \cdot (- 2)^{2})

A = \frac{5}{6}

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