Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B d (5 BE)

Das Lot zur Ebene

E

im Punkt

R

wird als Einfallslot bezeichnet.

Die beiden Geraden, entlang derer der einfallende und der reflektierte Lichtstrahl im Modell verlaufen, liegen in einer Ebene

F

. Ermitteln Sie eine Gleichung von

F

in Normalenform. Weisen Sie nach, dass das Einfallslot ebenfalls in der Ebene

F

liegt.

( mögliches Teilergebnis: $F : x_{1} - x_{2} = 0$ )

Lösung zu Teilaufgabe Teil B d

Ebene aus zwei Geraden

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Gegeben:

P (2 | 2 | 3)

;

Q (0 | 0 | 1)

;

R (1, 5 | 1, 5 | 1)

E : x_{1} + x_{2} + x_{3} = 4

Richtungsvektor des einfallenden Strahls:

\vec{v} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ - 4 \end{matrix})

(s. Teil B Teilaufgabe b)

Richtungsvektor des reflektierten Strahls:

\vec{w} = \vec{Q R} = \vec{R} - \vec{Q} = (\begin{matrix} 1, 5 \\ 1, 5 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1, 5 \\ 1, 5 \\ 0 \end{matrix})

Normalenvektor

\vec{n_{F}}

der Ebene

F

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

\vec{a} \times \vec{b}

zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist ein Vektor

\vec{n}

, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht.

Für die komponentenweise Berechnung gilt:

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix})

In diesem Fall ist:

(\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ - 4 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1, 5 \\ 1, 5 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} (- 1) \cdot 0 - (- 4) \cdot 1, 5 \\ - 4 \cdot 1, 5 - (- 1) \cdot 0 \\ - 1 \cdot 1, 5 - (- 1) \cdot 1, 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 \\ - 6 \\ 0 \end{matrix})

\vec{v} \times \vec{w} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ - 4 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1, 5 \\ 1, 5 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 \\ - 6 \\ 0 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

\vec{n_{F}} = \frac{1}{6} \cdot (\begin{matrix} 6 \\ - 6 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})

Ebenengleichung in Normalenform bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt

P

aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E : \vec{n_{E}} \circ \vec{X} = \vec{n_{E}} \circ \vec{P}

Hier (

P

ist Aufpunkt):

F : (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) \circ \vec{X} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) \circ \underset{\vec{P}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})}}

F : x_{1} - x_{2} = 2 - 2 + 0

F : x_{1} - x_{2} = 0

Lagebeziehung Gerade und Ebene

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Richtungsvektor

\vec{u}

des Einfallslots:

Schritt einblenden / ausblenden

Lotgerade auf einer Ebene

Der Richtungsvektor des Lotes ist gleich dem Normalenvektor

\vec{n_{E}}

der Ebene

E

, da dieser senkrecht auf der Ebene steht.

\vec{u} = \vec{n_{E}} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Senkrechte Vektoren

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren, die senkrecht zueinander stehen, ist gleich Null.

Wenn das Einfallslot in der Ebene

F

liegt, dann steht der Normalenvektor der Ebene senkrecht zum Richtungsvektor des Einfallslots.

\vec{u} \circ \vec{n_{F}} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) = 1 - 1 + 0 = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Da der Normalenvektor der Ebene

F

senkrecht zum Richtungsvektor des Einfallslots steht und das Einfallslot durch

R

geht (

R

liegt in

F

), ist das Einfallslot in der Ebene

F

enthalten.

\Rightarrow

Das Einfallslot liegt in der Ebene

F

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe Teil A 1a

Teilaufgabe Teil A 1b

Teilaufgabe Teil A 2a

Teilaufgabe Teil A 2b

Teilaufgabe Teil B a

Teilaufgabe Teil B b

Teilaufgabe Teil B c

Teilaufgabe Teil B d

Teilaufgabe Teil B e

Lösung als Video:

Lösung als Video

Themen dieser Aufgabe:

Ebene aus zwei Geraden

Lagebeziehung Gerade und Ebene

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!