Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil A 1b (3 BE)

Die Punkte

M

und

P

sind die Mittelpunkte der Kanten

[A D]

bzw.

[B C]

.
Der Punkt

K (0 | y_{K} | 4)

liegt auf der Kante

[D F]

. Bestimmen Sie

y_{K}

so, dass das Dreieck

K M P

M

rechtwinklig ist.

Lösung zu Teilaufgabe Teil A 1b

Mittelpunkt einer Strecke

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A (0 | 0 | 0)

D (0 | 0 | 4)

B (8 | 0 | 0)

C (0 | 8 | 0)

Schritt einblenden / ausblenden

Mittelpunkt einer Strecke

Die Formel für die Berechnung des Mittelpunktes

M

zwischen zwei Punkten

A

und

B

lautet:

\vec{M} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{A} + \vec{B})

\vec{M} = \frac{1}{2} \cdot [\vec{A} + \vec{D}] = \frac{1}{2} \cdot [(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})] = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})

\Rightarrow

M (0 | 0 | 2)

\vec{P} = \frac{1}{2} \cdot [\vec{B} + \vec{C}] = \frac{1}{2} \cdot [(\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{matrix})] = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 8 \\ 8 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})

\Rightarrow

P (4 | 4 | 0)

Skalarprodukt

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

\vec{M K} = \vec{K} - \vec{M} = (\begin{matrix} 0 \\ y_{K} \\ 4 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ y_{K} \\ 2 \end{matrix})

\vec{M P} = \vec{P} - \vec{M} = (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ - 2 \end{matrix})

\vec{M K} \circ \vec{M P} = (\begin{matrix} 0 \\ y_{K} \\ 2 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ - 2 \end{matrix}) = 0 + 4 y_{K} - 4

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Senkrechte Vektoren

Das Skalarprodukt zweier Vektoren, die senkrecht zueinander stehen, ist gleich Null.

Wenn das Dreieck

K M P

M

rechtwinklig sein soll, dann müssen die Vektoren

\vec{M K}

und

\vec{M P}

senkrecht aufeinander stehen.

Es soll gelten:

\vec{M K} \circ \vec{M P} = 0

4 y_{K} - 4 = 0

\Rightarrow

y_{K} = 1

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Mittelpunkt einer Strecke

Skalarprodukt

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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