Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B c (3 BE)

Der einfallende Lichtstrahl wird in demjenigen Punkt des Spiegels reflektiert, der im Modell durch den Punkt

R

dargestellt wird. Der reflektierte Lichtstrahl geht für einen Beobachter scheinbar von einer Lichtquelle aus, deren Position im Modell durch den Punkt

Q (0 | 0 | 1)

beschrieben wird (vgl. Abbildung).

Zeigen Sie, dass die Punkte

P

und

Q

bezüglich der Ebene

E

symmetrisch sind.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B c

Mittelpunkt einer Strecke

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P (2 | 2 | 3)

;

Q (0 | 0 | 1)

Mittelpunkt

M

der Strecke

[P Q]

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Mittelpunkt einer Strecke

Die Formel für die Berechnung des Mittelpunktes

M

zwischen zwei Punkten

A

und

B

lautet:

\vec{M} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{A} + \vec{B})

\vec{M} = \frac{1}{2} [\vec{P} + \vec{Q}] = \frac{1}{2} [(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})] = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

M (1 | 1 | 2)

Symmetrieebene

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E : x_{1} + x_{2} + x_{3} = 4

\Rightarrow

\vec{n_{E}} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

\vec{P Q} = \vec{Q} - \vec{P} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \\ - 2 \end{matrix}) = - 2 \cdot \underset{\vec{n_{E}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})}}

Der Vektor

\vec{P Q}

ist parallel zum Normalenvektor

\vec{n_{E}}

der Ebene

E

, also steht er senkrecht zur Ebene

E

Schritt einblenden / ausblenden

Punktkoordinaten

Ebenengleichung

Liegt ein Punkt

P

in einer Ebene

E

, so erfüllen seine Koordinaten die Ebenengleichung.

Beispiel:

P (1 | 0 | 1)

;

E : x_{1} - x_{2} + x_{3} = 2

1 - 0 + 1 = 2

2 = 2

(wahre Aussage)

Da zusätzlich

M

auf der Ebene

E

liegt (

1 + 1 + 2 = 4

), sind

P

und

Q

bezüglich der Ebene

E

symmetrisch.

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Themen dieser Aufgabe:

Mittelpunkt einer Strecke

Symmetrieebene

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die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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