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Abitur 2014 Mathematik Analytische Geometrie V
Die Abbildung zeigt ein gerades Prisma mit , , und .
Teilaufgabe Teil A 1a (2 BE)
Bestimmen Sie den Abstand der Eckpunkte und .
Teilaufgabe Teil A 1b (3 BE)
Die Punkte und sind die Mittelpunkte der Kanten bzw. .
Der Punkt liegt auf der Kante . Bestimmen Sie so, dass das Dreieck in rechtwinklig ist.
Der Punkt liegt auf der Kante . Bestimmen Sie so, dass das Dreieck in rechtwinklig ist.
Gegeben ist die Ebene .
Teilaufgabe Teil A 2a (1 BE)
Beschreiben Sie die besondere Lage von im Koordinatensystem.
Teilaufgabe Teil A 2b (4 BE)
Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Kugel mit Mittelpunkt und Radius die Ebene schneidet.
In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte , und das Dreieck fest, das in der Ebene liegt.
Teilaufgabe Teil B a (3 BE)
Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks .
Das Dreieck stellt modellhaft einen Spiegel dar. Der Punkt gibt im Modell die Position einer Lichtquelle an, von der ein Lichtstrahl ausgeht. Die Richtung dieses Lichtstrahls wird im Modell durch den Vektor beschrieben.
Teilaufgabe Teil B b (5 BE)
Geben Sie eine Gleichung der Geraden an, entlang derer der Lichtstrahl im Modell verläuft. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts , in dem die Ebene schneidet, und begründen Sie, dass der Lichtstrahl auf dem dreieckigen Spiegel auftrifft.
( zur Kontrolle: )
Der einfallende Lichtstrahl wird in demjenigen Punkt des Spiegels reflektiert, der im Modell durch den Punkt dargestellt wird. Der reflektierte Lichtstrahl geht für einen Beobachter scheinbar von einer Lichtquelle aus, deren Position im Modell durch den Punkt beschrieben wird (vgl. Abbildung).
Teilaufgabe Teil B c (3 BE)
Zeigen Sie, dass die Punkte und bezüglich der Ebene symmetrisch sind.
Das Lot zur Ebene im Punkt wird als Einfallslot bezeichnet.
Teilaufgabe Teil B d (5 BE)
Die beiden Geraden, entlang derer der einfallende und der reflektierte Lichtstrahl im Modell verlaufen, liegen in einer Ebene . Ermitteln Sie eine Gleichung von in Normalenform. Weisen Sie nach, dass das Einfallslot ebenfalls in der Ebene liegt.
( mögliches Teilergebnis: )
Teilaufgabe Teil B e (4 BE)
Zeigen Sie, dass die Größe des Winkels zwischen reflektiertem Lichtstrahl und Einfallslot mit der Größe des Winkels zwischen einfallendem Lichtstrahl und Einfallslot übereinstimmt.
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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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