Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil A 2b (4 BE)

Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Kugel mit Mittelpunkt

Z (1 | 6 | 3)

und Radius

7

die Ebene

E

schneidet.

Lösung zu Teilaufgabe Teil A 2b

Abstand Punkt - Ebene

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Z (1 | 6 | 3)

E : 3 x_{2} + 4 x_{3} = 5

\vec{n_{E}} = (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})

Normalenvektor der Ebene

Betrag des Normalenvektors bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

| \vec{n_{E}} | = | (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) | = \sqrt{0 + 3^{2} + 4^{2}} = 5

Hesse-Normalenform

E^{HNF}

der Ebene aufstellen:

Schritt einblenden / ausblenden

Hesse-Normalenform der Ebene

Die Hesse-Normalenform

E^{HNF}

einer Ebene

E

entsteht durch Teilung der Normalenform der Ebene

E

mit dem Betrag des Normalenvektors

| \vec{n_{E}} |

.

Beispiel:

E : x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} - 4 = 0

\vec{n_{E}} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

\Rightarrow

| \vec{n_{E}} | = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3

E^{HNF} : \frac{1}{3} \cdot (x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} - 4) = 0

E^{HNF} : \frac{1}{5} (3 x_{2} + 4 x_{3} - 5) = 0

Abstand bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Abstand Punkt - Ebene

Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes

P

in die Hesse-Normalenform

E^{HNF}

der Ebene

E

(zwischen Betragsstriche), bestimmt man den Abstand

d (P, E)

des Punktes zur Ebene.

Beispiel:

E^{HNF} : \frac{1}{3} \cdot (x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} - 4) = 0

P (1 | 3 | - 6)

d (P, E) = | \frac{1}{3} \cdot (1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot (- 6) - 4) | = | - \frac{9}{3} | = 3

d = d (Z, E) = | \frac{1}{5} (3 \cdot 6 + 4 \cdot 3 - 5) | = 5 < r

(= 7)

Der Abstand des Mittelpunktes

Z

zur Ebene

E

ist kleiner als der Radius

r

der Kugel, also schneiden sich Kugel und Ebene.

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Themen dieser Aufgabe:

Abstand Punkt - Ebene

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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