Lösung Abitur Bayern 2013 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2.2 (4 BE)

Argumentieren Sie mithilfe der bisher bekannten Eigenschaften, dass die Funktion

f

aus Aufgabe 1 zur Funktionenschar

f_{t}

gehört.

Lösung zu Teilaufgabe 2.2

Eigenschaften einer Funktion

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Am Graphen

G_{f}

(siehe Teilaufgabe 1.4) erkennt man:

Schritt einblenden / ausblenden

Vielfachheit von Nullstellen

Die Vielfachheit einer Nullstelle gibt an, auf welche Art die Funktion die

x

-Achse in einem Punkt "berührt" oder "schneidet".

1-fache Nullstelle: Schnittstelle mit der

x

-Achse.
2-fache (doppelte) Nullstelle: Berührstelle mit der

x

-Achse.
3-fache Nullstelle: Nullstelle ist ein Sattelpunkt/Terrassenpunkt.

(x - 2)^{2} = (x - 2) (x - 2)

\Rightarrow

x = 2

ist doppelte Nullstelle

(x + 5)^{3} = (x + 5) (x + 5) (x + 5)

\Rightarrow

x = - 5

ist dreifache Nullstelle

x = - 1

ist doppelte Nullstelle.

Schritt einblenden / ausblenden

Linearfaktorzerlegung

Die Linearfaktorzerlegung einer Polynomfunktion dritten Grades mit den Nullstellen

x_{1}

x_{2}

und

x_{3}

lautet:

f (x) = a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2}) \cdot (x - x_{3})

a \in ℝ

a

stellt den Leitkoeffizienten dar.

Im Falle, dass eine doppelte Nullstelle (z.B.

x_{1} = x_{3}

) vorliegt:

f (x) = a \cdot {(x - x_{1})}^{2} \cdot (x - x_{2})

\Rightarrow

f (x) = (x + 1)^{2} \cdot \dots

Schritt einblenden / ausblenden

Vielfachheit von Nullstellen

Die Vielfachheit einer Nullstelle gibt an, auf welche Art die Funktion die

x

-Achse in einem Punkt "berührt" oder "schneidet".

1-fache Nullstelle: Schnittstelle mit der

x

-Achse.
2-fache (doppelte) Nullstelle: Berührstelle mit der

x

-Achse.
3-fache Nullstelle: Nullstelle ist ein Sattelpunkt/Terrassenpunkt.

(x - 2)^{2} = (x - 2) (x - 2)

\Rightarrow

x = 2

ist doppelte Nullstelle

(x + 5)^{3} = (x + 5) (x + 5) (x + 5)

\Rightarrow

x = - 5

ist dreifache Nullstelle

x = 2

ist einfache Nullstelle.

Schritt einblenden / ausblenden

Linearfaktorzerlegung

Die Linearfaktorzerlegung einer Polynomfunktion dritten Grades mit den Nullstellen

x_{1}

x_{2}

und

x_{3}

lautet:

f (x) = a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2}) \cdot (x - x_{3})

a \in ℝ

a

stellt den Leitkoeffizienten dar.

Im Falle, dass eine doppelte Nullstelle (z.B.

x_{1} = x_{3}

) vorliegt:

f (x) = a \cdot {(x - x_{1})}^{2} \cdot (x - x_{2})

\Rightarrow

f (x) = (x + 1)^{2} \cdot (x - 2) \cdot . . .

3. Der charakteristische Verlauf ist von "links oben nach rechts unten".

Schritt einblenden / ausblenden

Leitkoeffizient

Der charakteristische Verlauf einer ganzrationalen Funktion wird durch den Term mit dem höchsten Exponenten bestimmt.

Bei einer Polynomfunktion dritten Grades

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

ist es der Term

a x^{3}

a

wird als Leitkoeffizient bezeichnet.

Für den Verlauf einer Polynomfunktion dritten Grades, gilt:

Ist

a

positiv, so verläuft der Graph der Funktion von "links unten nach rechts oben".

Ist

a

negativ, so verläuft der Graph der Funktion von "links oben nach rechts unten".

\Rightarrow

f (x) = - (x + 1)^{2} \cdot (x - 2)

\Rightarrow

f (x)

entspricht der Funktion

f_{2} (x)

aus der Schar

f_{t}

für

t = 2 .

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Eigenschaften einer Funktion

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