Abitur 2013 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

Der Graph

G_{f}

einer ganzrationalen Funktion

f

mit der Definitionsmenge

D_{f} = ℝ

berührt die

x

-Achse bei

x = - 1

und schneidet die

y

-Achse bei

y = 2

.
Die Tangente an den Graphen

G_{f}

für

x = 2

hat die Steigung

m = - 9

Teilaufgabe 1.1 (3 BE)

Begründen Sie, dass die zugehörige ganzrationale Funktion nicht 2. Grades sein kann.

Teilaufgabe 1.2 (7 BE)

Bestimmen Sie den Funktionsterm

f (x)

der ganzrationalen Funktion

f

dritten Grades.
[Ergebnis:

f (x) = - x^{3} + 3 x + 2

]

Teilaufgabe 1.3 (8 BE)

Weisen Sie durch entsprechende Berechnungen nach, dass die Gerade

G_{g}

mit

g (x) = 4

Tangente an den Graphen

G_{f}

im Hochpunkt von

G_{f}

ist und ermitteln Sie die Koordinaten des weiteren gemeinsamen Punktes von

G_{g}

und

G_{f}

Teilaufgabe 1.4 (4 BE)

Zeichnen Sie den Graphen

G_{f}

sowie die Gerade

G_{g}

im Bereich

- 2 \leq x \leq 2

mithilfe vorliegender Ergebnisse in ein Koordinatensystem.

Teilaufgabe 1.5 (4 BE)

Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts für das Flächenstück

F_{1}

, welches der Graph

G_{f}

und die Gerade

G_{g}

mit der

y

-Achse im II. Quadranten einschließen.

Teilaufgabe 1.6 (5 BE)

Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts für das Flächenstück

F_{2}

, welches der Graph

G_{f}

mit den Koordinatenachsen im I. Quadranten einschließt. Vergleichen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts von

F_{1}

und

F_{2}

.
Welche Vermutung legt das Ergebnis bezüglich des Punktes

P (0 | 2)

nahe?

Gegeben sind die reellen Funktionen

f_{t} (x) = - (x + 1)^{2} (x - t)

;

D_{f_{t}} = ℝ

;

t \in ℝ

Teilaufgabe 2.1 (4 BE)

Bestimmen Sie die Nullstellen von

f_{t}

, sowie deren Vielfachheit in Abhängigkeit von

t

Teilaufgabe 2.2 (4 BE)

Argumentieren Sie mithilfe der bisher bekannten Eigenschaften, dass die Funktion

f

aus Aufgabe 1 zur Funktionenschar

f_{t}

gehört.

Teilaufgabe 3 (7 BE)

Gegeben ist die abschnittsweise definierte Funktion

h

durch

h (x) = {\begin{matrix} f (x) & für & x < 0 \\ - 0, 5 (x - 1)^{2} + 2, 5 & für & x \geq 0 \end{matrix}

mit

f (x)

aus 1.2.

Weisen Sie nach, dass die Funktion

h

an der Nahtstelle stetig ist. Untersuchen Sie anschließend rechnerisch, ob der Graph von

h

an dieser Stelle "ohne Knick" verläuft.

Teilaufgabe 4 (5 BE)

Die folgende Darstellung zeigt den Graphen

G_{r}

der ganzrationalen Funktion

r

und den Graphen

G_{s}

der ganzrationalen Funktion

s

Begründen Sie:
Die Funktion

s

kann eine Stammfunktion der Funktion

r

sein.

Eine Schule veranstaltet eine Projektwoche zum Thema "Work-Life-Balance".
Zum Abschluss erhalten alle Teilnehmer je einen Relax-Ball, der in einer zylinderförmigen Schachtel verpackt ist. Von dieser ist bekannt, dass sie eine Oberfläche von

180 {cm}^{2}

besitzt. Bei der Rechnung wird auf Einheiten verzichtet.

Teilaufgabe 5.1 (4 BE)

Zeigen Sie, dass für das Volumen der Schachtel in Abhängigkeit vom Zylinderradius

r

gilt:

V (r) = - π \cdot r^{3} + 90 r

Teilaufgabe 5.2 (5 BE)

Nach Informationen des Verbraucherschutzes kann eine Verpackung dann als unzulässig deklariert werden, wenn die Füllmenge vom Fassungsvermögen einer Verpackung um mehr als

30 %

abweicht.
Prüfen Sie, ob eine Verpackung dieser Anforderung gerecht wird, wenn die Schachtel mit

r = 3, 1 cm

einen Ball mit dem Durchmesser von

60 mm

enthält. Runden Sie alle Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen.

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1.1

Teilaufgabe 1.2

Teilaufgabe 1.3

Teilaufgabe 1.4

Teilaufgabe 1.5

Teilaufgabe 1.6

Teilaufgabe 2.1

Teilaufgabe 2.2

Teilaufgabe 3

Teilaufgabe 4

Teilaufgabe 5.1

Teilaufgabe 5.2

Lösung als Video:

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