Lösung Abitur Bayern 2013 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1.5 (4 BE)

Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts für das Flächenstück

F_{1}

, welches der Graph

G_{f}

und die Gerade

G_{g}

mit der

y

-Achse im II. Quadranten einschließen.

Lösung zu Teilaufgabe 1.5

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

Verläuft der Graph einer Funktion

f

oberhalb dem Graphen einer Funktion

g

, so ist der Inhalt eines Flächenstücks zwischen den zwei Funktionsgraphen

G_{f}

und

G_{g}

gegeben durch:

A = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) dx

Sind die Integrationsgrenzen

a

und

b

nicht explizit vorgegeben, so verwendet man hierfür die Schnittpunkte der beiden Graphen

G_{f}

und

G_{g}

F_{1} = \int_{- 2}^{0} (g (x) - f (x)) dx

F_{1} = \int_{- 2}^{0} (4 - (- x^{3} + 3 x + 2)) dx

F_{1} = \int_{- 2}^{0} (x^{3} - 3 x + 2) dx

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Stammfunktion

Rechenregeln für Integrale

Benötigte Regel zur Bildung der Stammfunktion von

x^{3} - 3 x + 2

(siehe auch Merkregel Mathematik):

\int x^{r} dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C

(r \neq - 1)

\Rightarrow

\int (x^{3} - 3 x + 2) dx = \frac{x^{3 + 1}}{3 + 1} - 3 \frac{x^{1 + 1}}{1 + 1} + 2 \frac{x^{0 + 1}}{0 + 1} = \frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x

F_{1} = {[\frac{1}{4} x^{4} - \frac{3}{2} x^{2} + 2 x]}_{- 2}^{0}

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Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) dx = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

F_{1} = 0 - (\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{3}{2} \cdot 4 - 4)

F_{1} = 6

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