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Themen dieser Aufgabe:

Lage von Extrempunkten ermitteln

Art von Extrempunkten ermitteln

Nachweis einer Tangente

Schnittpunkt zweier Funktionen

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Lösung Abitur Bayern 2013 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1.3  (8 BE)

Weisen Sie durch entsprechende Berechnungen nach, dass die Gerade ${\displaystyle {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ mit ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=4}$ Tangente an den Graphen ${\displaystyle {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ im Hochpunkt von ${\displaystyle {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ ist und ermitteln Sie die Koordinaten des weiteren gemeinsamen Punktes von ${\displaystyle {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ und ${\displaystyle {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$.

 

Lösung zu Teilaufgabe 1.3

Lösung als Video

Lage von Extrempunkten ermitteln

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${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3+3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2}$

Erste Ableitung bilden:

${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=-3{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+3}$

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Notwendige Bedingung

Folgende notwendige Bedingung muss für einen Extrempunkt an der Stelle ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ erfüllt sein:

${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)=0}$, daher immer der Ansatz: ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=0}$

Erste Ableitung gleich Null setzen: ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=0}$

${\displaystyle -3{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+3=0}$
${\displaystyle -3{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2=-3}$
${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2=1}$

${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=-1}$; ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=1}$

Art von Extrempunkten ermitteln

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Zweite Ableitung bilden:

${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=-6\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

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Art eines Extremums

Ist ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)=0}$ und ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime }\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)>0}$, so hat die Funktion an der Stelle ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ einen Tiefpunkt (Minimum).

Ist ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)=0}$ und ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime }\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)<0}$, so hat die Funktion an der Stelle ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ einen Hochpunkt (Maximum).

Vorzeichen der zweiten Ableitung an den möglichen Extremstellen untersuchen:

${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime }(1)=-6<0}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle (1|4)}$ ist Hochpunkt

(Da HOP bestimmt, keine weiteren Berechnungen notwendig.)

Nachweis einer Tangente

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${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=4}$ ist Tangente im Hochpunkt ${\displaystyle (1|4)}$, da ${\displaystyle (1|4)}$ auf ${\displaystyle {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ liegt und ${\displaystyle {\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(1)=0={\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(1)}$.

Schnittpunkt zweier Funktionen

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Gemeinsamen Punkt bestimmen:

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Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen

Die Graphen zweier Funktionen schneiden sich dort, wo sie ein übereinstimmendes Wertepaar ${\displaystyle (\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$, einen gemeinsamen Punkt, besitzen.

Man setzt die Funktionsgleichungen gleich und löst nach ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ auf.

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

${\displaystyle -{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3+3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2=4}$

${\displaystyle -{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3+3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2=0}$

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Lösen einer Gleichung dritten Grades

Das Lösen einer Gleichung dritten Grades (auf der rechten Seite muss die Null stehen) setzt voraus, dass bereits eine Lösung bekannt ist. Ist dies nicht der Fall, so muss eine Lösung durch Ausprobieren geraten werden (für ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ werden die Werte ${\displaystyle \pm 1}$, ${\displaystyle \pm 2}$, ${\displaystyle \pm 3}$, ${\displaystyle \pm 4}$, etc. eingesetzt).

Hat man eine Lösung gefunden, so teilt man mittels Polynomdivision den Term links des Gleichheitszeichens durch die bekannte Lösung.

Erste Nullstelle: ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=1}$

Polynomdivision durchführen: ${\displaystyle \left(-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3+3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2\right):(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)}$

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Polynomdivision

Polynome lassen sich in Summenschreibweise oder auch faktorisiert schreiben. Das Polynom ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2}$ beispielsweise lässt sich in Faktoren folgendermaßen schreiben:

${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2=(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2)(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)}$

${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=-2}$ und ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=1}$ sind dabei die Nullstellen des Polynoms.

Bei einer Polynomdivision ist bereits eine Nullstelle bekannt. Wir haben zum Beispiel durch Rechnung oder durch Ausprobieren herausgefunden, dass ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}$ eine Nullstelle dieses Polynoms ist. Die zweite noch nicht bekannte Lösung, erhalten wir durch Polynomdivision.

${\displaystyle -{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2=0}$

${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{2,3}=\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1{)}^2-4\cdot (-1)\cdot 2}}{-2}=\frac{1\pm 3}{-2}}$

${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=-2}$
${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=1}$

${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \text{SP}(-2|4)}$

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