Lösung Abitur Bayern 2013 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe g (7 BE)

Der Grundkörper ist mit einer dünnen geradlinigen Bohrung versehen, die im Modell vom Punkt

H (11 | 3 | 6)

der Deckfläche

D C R S

aus in Richtung des Schnittpunkts der Diagonalen der Grundfläche verläuft. In der Bohrung ist eine gerade Stahlstange mit einer Länge von

1, 4

m so befestigt, dass die Stange zu drei Vierteln ihrer Länge aus der Deckfläche herausragt.

Bestimmen Sie im Modell eine Gleichung der Geraden

h

, entlang derer die Bohrung verläuft, sowie die Koordinaten des Punkts, in dem die Stange in der Bohrung endet.

(zur Kontrolle: möglicher Richtungsvektor von $h$ : $(\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ - 6 \end{matrix})$ )

Lösung zu Teilaufgabe g

Geradengleichung aufstellen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

H (11 | 3 | 6)

Schritt einblenden / ausblenden

Lage des Punktes

Mittelpunkt einer Strecke

Die Grundfläche

A B Q P

ist ein Rechteck. Die Diagonalen schneiden sich im Punkt

M

und halbieren sich dabei. Die Koordinaten von

M

können also direkt aus den Koordinaten von

A (28 | 0 | 0)

und

B (28 | 10 | 0)

abgelesen werden.

M (\frac{28}{2} | \frac{10}{2} | 0)

Oder auch als Mittelpunkt der Strecke

[B P]

\vec{M} = \frac{1}{2} (\vec{B} + \vec{P})

M (14 | 5 | 0)

Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche

Richtungsvektor der Geraden

h

\vec{H M} = \vec{M} - \vec{H} = (\begin{matrix} 14 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 11 \\ 3 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ - 6 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Geradengleichung

Eine Gerade

g

ist durch einen Ortsvektor

\vec{P}

und einen Richtungsvektor

\vec{v}

eindeutig bestimmt:

g : \vec{X} = \vec{P} + μ \cdot \vec{v}

μ \in ℝ

Wenn hier

H

als Aufpunkt genommen wird, dann ist

\vec{H}

der Ortsvektor (des Aufpunkts) der Geraden

h

h : \vec{X} = (\begin{matrix} 11 \\ 3 \\ 6 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ - 6 \end{matrix})

Lage eines Punktes

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Gesucht:

T

Schritt einblenden / ausblenden

Einheitsvektor

Ein Einheitsvektor (normierter Vektor) hat die Länge 1.
Um den Einheitsvektor zu einem gegebenen Vektor zu bestimmen, muss durch den Betrag des Vektors geteilt werden:

{\vec{a}}^{0} = \frac{1}{| \vec{a} |} \vec{a}

Der Einheitsvektor

{\vec{a}}^{0}

zeigt in dieselbe Richtung wie

\vec{a}

, hat aber die Länge 1.

{\vec{H M}}^{0} = \frac{1}{| \vec{H M} |} \cdot \vec{H M}

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

{\vec{H M}}^{0} = \frac{1}{\sqrt{9 + 4 + 36}} \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ - 6 \end{matrix})

{\vec{H M}}^{0} = \frac{1}{7} \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ - 6 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Um zum Punkt

T

zu gelangen, bewegt man sich vom Punkt

H

aus, entlang der Geraden

h

. Der normierte Richtungsvektor

{\vec{H M}}^{0}

der Geraden hat Länge 1 und gibt die Richtung an. Dieser Vektor passt dann

\bar{T H}

-mal zwischen

T

und

H

rein.

\vec{T} = \vec{H} + \bar{T H} \cdot {\vec{H M}}^{0}

\vec{T} = (\begin{matrix} 11 \\ 3 \\ 6 \end{matrix}) + \bar{T H} \cdot \frac{1}{7} \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ - 6 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Abstand zweier Punkte

Die Stahlstange ragt zu

\frac{3}{4}

ihrer Länge (1,4 m) aus der Deckfläche heraus. Anders gesagt: sie steckt zu

\frac{1}{4}

ihrer Länge in der Bohrung fest.

Im Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit (LE)

0, 1

m. Also:

1

= 10

(LE) .

\bar{T H} = \frac{1}{4} \cdot 1, 4 \cdot 10 = 3, 5

\vec{T} = (\begin{matrix} 11 \\ 3 \\ 6 \end{matrix}) + 3, 5 \cdot \frac{1}{7} \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ - 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 12, 5 \\ 4 \\ 3 \end{matrix})

\Rightarrow

T (12, 5 | 4 | 3)

Alternative Lösung

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T \in h

\Rightarrow

T (11 + 3 λ | 3 + 2 λ | 6 - 6 λ)

\bar{T H} = 3, 5

\bar{T H} = | \vec{T H} | = | \vec{H} - \vec{T} | = | (\begin{matrix} 11 \\ 3 \\ 6 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 11 + 3 λ \\ 3 + 2 λ \\ 6 - 6 λ \end{matrix}) | = | (\begin{matrix} - 3 λ \\ - 2 λ \\ 6 λ \end{matrix}) |

3, 5 = \sqrt{9 λ^{2} + 4 λ^{2} + 36 λ^{2}}

3, 5 = \sqrt{49 λ^{2}}

3, 5 = \pm 7 λ

\Rightarrow

λ = \pm \frac{1}{2}

Einsetzen von

λ = \pm \frac{1}{2}

T

T_{1} (12, 5 | 4 | 3)

und

T_{2} (9, 5 | 2 | 9)

Da die Bohrung Richtung

x_{1} x_{2}

-Ebene führt, ist

T_{1} (12, 5 | 4 | 3)

der gesuchte Punkt, also der Punkt mit der kleinsten

x_{3}

-Koordinate.

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Teilaufgabe g

Teilaufgabe h

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Themen dieser Aufgabe:

Geradengleichung aufstellen

Lage eines Punktes

Alternative Lösung

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