Lösung Abitur Bayern 2013 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe b (3 BE)

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene

E

, in der die Seitenfläche

A B C D

liegt, in Normalenform.

(mögliches Ergebnis: $E : 3 x_{1} + 4 x_{3} - 84 = 0$ )

Lösung zu Teilaufgabe b

Ebene aus drei Punkte

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Richtungsvektoren der Ebene

E

\vec{A B} = (\begin{matrix} 0 \\ 10 \\ 0 \end{matrix})

\vec{A D} = (\begin{matrix} - 8 \\ 0 \\ 6 \end{matrix})

A (28 | 0 | 0)

sei Aufpunkt des Ortsvektors der Ebene

E

Ebenengleichung in Normalenform

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Normalenvektor

\vec{n_{E}}

der Ebene

E

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

\vec{a} \times \vec{b}

zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist ein Vektor

\vec{n}

, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannte Ebene steht.

Für die komponentenweise Berechnung gilt:

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix})

\vec{A B} \times \vec{A D} = (\begin{matrix} 0 \\ 10 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 8 \\ 0 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 60 \\ 0 \\ 80 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

\Rightarrow

\vec{n_{E}} = \frac{1}{20} \cdot (\begin{matrix} 60 \\ 0 \\ 80 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})

Ebenengleichung in Normalenform bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt

P

aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E : \vec{n_{E}} \circ \vec{X} = \vec{n_{E}} \circ \vec{P}

Hier (

A

ist Aufpunkt):

E : (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) \circ \vec{X} = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 28 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

E : 3 x_{1} + 4 x_{3} = 84 + 0 + 0

E : 3 x_{1} + 4 x_{3} - 84 = 0

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Teilaufgabe a

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Themen dieser Aufgabe:

Ebene aus drei Punkte

Ebenengleichung in Normalenform

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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