Lösung Abitur Bayern 2013 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe a (5 BE)

Ein auf einer horizontalen Fläche stehendes Kunstwerk besitzt einen Grundkörper aus massiven Beton, der die Form eines Spats hat. Alle Seitenflächen eines Spats sind Parallelogramme.

In einem Modell lässt sich der Grundkörper durch einen Spat

A B C D P Q R S

mit

A (28 | 0 | 0)

B (28 | 10 | 0)

D (20 | 0 | 6)

, und

P (0 | 0 | 0)

beschreiben (vgl. Abbildung). Die rechteckige Grundfläche

A B Q P

liegt in der

x_{1} x_{2}

-Ebene. Im Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit

0, 1

m, d. h. der Grundkörper ist

0, 6

m hoch.

Geben Sie die Koordinaten des Punkts

C

an und zeigen Sie, dass die Seitenfläche

A B C D

ein Quadrat ist.

Lösung zu Teilaufgabe a

Lage eines Punktes

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

A (28 | 0 | 0)

B (28 | 10 | 0)

D (20 | 0 | 6)

Schritt einblenden / ausblenden

Lage des Punktes

Da die Seite

A B C D

ein Parallelogramm ist, hat der Punkt

C

:

- die gleiche

x_{1}

-Koordinate wie der Punkt

D

\Rightarrow

x_{1_{C}} = 20

- die gleiche

x_{2}

-Koordinate wie der Punkt

B

\Rightarrow

x_{2_{C}} = 10

- die gleiche

x_{3}

-Koordinate wie der Punkt

D

\Rightarrow

x_{3_{C}} = 6

\Rightarrow

C (20 | 10 | 6)

Lagebeziehung von Vektoren

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

\vec{A B} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{matrix} 28 \\ 10 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 28 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 10 \\ 0 \end{matrix})

\vec{A D} = \vec{D} - \vec{A} = (\begin{matrix} 20 \\ 0 \\ 6 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 28 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 8 \\ 0 \\ 6 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

\vec{A B} \circ \vec{A D} = (\begin{matrix} 0 \\ 10 \\ 0 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} - 8 \\ 0 \\ 6 \end{matrix}) = 0 + 0 + 0 = 0

\Rightarrow

\vec{A B} ⊥ \vec{A D}

\Rightarrow

Das Parallelogramm

A B C D

ist somit ein Rechteck.

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

Länge eines Vektors

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

| \vec{A B} | = | (\begin{matrix} 0 \\ 10 \\ 0 \end{matrix}) | = \sqrt{0 + 100 + 0} = 10

| \vec{A D} | = | (\begin{matrix} - 8 \\ 0 \\ 6 \end{matrix}) | = \sqrt{64 + 0 + 36} = 10

\Rightarrow

| \vec{A B} | = | \vec{A D} |

\Rightarrow

Alle Seiten sind gleich lang.

\Rightarrow

A B C D

ist ein Quadrat.

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Teilaufgabe a

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Teilaufgabe h

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Themen dieser Aufgabe:

Lage eines Punktes

Lagebeziehung von Vektoren

Länge eines Vektors

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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