Lösung Abitur Bayern 2013 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe c (3 BE)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem die Seitenfläche

A B C D

gegen die

x_{1} x_{2}

-Ebene geneigt ist.

Lösung zu Teilaufgabe c

Winkel zwischen zwei Ebenen

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E : 3 x_{1} + 4 x_{3} - 84 = 0

\Rightarrow

\vec{n_{E}} = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})

(Normalenvektor der Ebene

E

)

x_{1} x_{2}

-Ebene:

x_{3} = 0

\Rightarrow

{\vec{n}}_{x_{1} x_{2}} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

(Normalenvektor der

x_{1} x_{2}

-Ebene)

Neigungswinkel

α

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Winkel zwischen zwei Ebenen

Der Winkel

α

zwischen zwei Ebenen

E

und

G

ist gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren

\vec{n_{E}}

und

\vec{n_{G}}

Winkel zwischen den Normalenvektoren bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Winkel zwischen zwei Vektoren

Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

\vec{a} \circ \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos \underset{α}{\underset{︸}{∡ (\vec{a}, \vec{b})}}

folgt für den Winkel

α

zwischen den beiden Vektoren:

\cos α = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}

(Formel zur Winkelberechnung zwischen 2 Vektoren)

\cos α = \frac{(\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})}{| (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) |}

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

\cos α = \frac{0 + 0 + 4}{\sqrt{25} \cdot \sqrt{1}}

\cos α = \frac{4}{5}

\Rightarrow

α = \cos^{- 1} \frac{4}{5} \approx 36, 87^{\circ}

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Teilaufgabe a

Teilaufgabe b

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Themen dieser Aufgabe:

Winkel zwischen zwei Ebenen

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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