Lösung Abitur Bayern 2012 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe g (5 BE)

Überprüfen Sie rechnerisch, ob das Fenster bei seiner Drehung am Möbelstück anstoßen kann.

Lösung zu Teilaufgabe g

Abstand Punkt - Gerade

M (2 | 5 | 1, 5)

Mittelpunkt der Strecke

[G H]

k : \vec{X} = (\begin{matrix} 0 \\ 5, 5 \\ 0, 4 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Damit das Fenster nicht am Möbelstück anstoßt, muss der Abstand vom Punkt

M

zur Geraden

k

größer sein als die Länge der Kante

[M H]

Abstand von

M

k

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Hilfsebene

Um den Abstand zwischen einer Geraden

g

und einen Punkt

M

bestimmen zu können, bildet man eine Hilfsebene

H

die den Punkt

M

beinhaltet und senkrecht zur Geraden

g

steht.

Diese Ebene schneidet dann die Gerade

g

in einem Punkt

F

. Der Abstand entspricht dann der Länge der Strecke

[M F]

Hilfsebene

H

durch

M

senkrecht zu

k

aufstellen:

\vec{n_{H}} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt

P

aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E : \vec{X} \circ \vec{n_{E}} = \vec{P} \circ \vec{n_{E}}

Hier (

M

ist Aufpunkt):

H : \vec{X} \circ (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 1, 5 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

\Leftrightarrow

x_{1} = 2

\Leftrightarrow

x_{1} - 2 = 0

Ebene

H

und Gerade

k

schneiden:

H \cap k

Schritt einblenden / ausblenden

Schnitt Ebene und Gerade

Schneidet eine Gerade

g : \vec{X} = \vec{P} + λ \cdot \vec{v}

eine Ebene

E

in einem Punkt

P

, dann erfüllt die Geradengleichung für ein bestimmten Wert von

λ

(von

g

) die Normalenform der Ebene

E

.

Man setzt

g

E

ein und löst nach

λ

auf.

Hier wird also

k

H

eingesetzt und nach

λ

aufgelöst.

Da die Gleichung der Ebene

H

nur "

x_{1}

" enthält, muss auch nur die

x_{1}

-Koordinate "

λ

" von

k

eingesetzt werden.

λ - 2 = 0

\Rightarrow

λ = 2

λ = 2

k

einsetzen und Schnittpunkt

F

bestimmen:

\vec{F} = (\begin{matrix} 0 \\ 5, 5 \\ 0, 4 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 5, 5 \\ 0, 4 \end{matrix})

\Rightarrow

F (2 | 5, 5 | 0, 4)

Vektor

\vec{M F}

bestimmen:

\vec{M F} = \vec{F} - \vec{M} = (\begin{matrix} 2 \\ 5, 5 \\ 0, 4 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 1, 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0, 5 \\ - 1, 1 \end{matrix})

Abstand bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

d = d (M; k) = | \vec{M F} | = | (\begin{matrix} 0 \\ 0, 5 \\ - 1, 1 \end{matrix}) | = \sqrt{0 + (0, 5)^{2} + (- 1, 1)^{2}} = \sqrt{1, 46} \approx 1, 21

d (M; k) \approx 1, 21 > \underset{\approx 1, 12}{\underset{︸}{\frac{\sqrt{5}}{2}}} = \bar{M H}

Das Fenster kann nicht am Möbelstück anstoßen.

Alternative Lösung

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Alternativer Rechenweg

k : \vec{X} = \underset{P}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 0 \\ 5, 5 \\ 0, 4 \end{matrix})}} + λ \cdot \underset{\vec{R V_{k}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})}}

d (M, k) = \frac{| \vec{M P} \times \vec{R V_{k}} |}{| \vec{R V_{k}} |}

= \frac{| (\begin{matrix} - 2 \\ 0, 5 \\ - 1, 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) |}{\sqrt{1^{2} + 0 + 0}} = \frac{| (\begin{matrix} 0 \\ - 1, 1 \\ - 0, 5 \end{matrix}) |}{1} = \sqrt{1, 46}

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Abstand Punkt - Gerade

Alternative Lösung

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