Lösung Abitur Bayern 2012 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe d (6 BE)

Durch das Fenster einfallendes Sonnenlicht wird im Zimmer durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor

\vec{v} = (\begin{matrix} - 2 \\ - 8 \\ - 1 \end{matrix})

repräsentiert. Eine dieser Geraden verläuft durch den Punkt

G

und schneidet die Seitenwand

O P Q R

im Punkt

S

. Berechnen Sie die Koordinaten von

S

sowie die Größe des Winkels, den diese Gerade mit der Seitenwand

O P Q R

einschließt.

Lösung zu Teilaufgabe d

Geradengleichung aufstellen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

G (2 | 4 | 2)

\vec{v} = (\begin{matrix} - 2 \\ - 8 \\ - 1 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Geradengleichung

Eine Gerade

g

ist durch einen Ortsvektor

\vec{P}

und einen Richtungsvektor

\vec{v}

eindeutig bestimmt:

g : \vec{X} = \vec{P} + μ \cdot \vec{v}

μ \in ℝ

Wenn

G

als Aufpunkt genommen wird, dann ist

\vec{G}

der Ortsvektor (des Aufpunkts) der Geraden

g

g : \vec{X} = \underset{\vec{G}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix})}} + λ \underset{\vec{v}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} - 2 \\ - 8 \\ - 1 \end{matrix})}}

Schnitt Ebene und Gerade

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

x_{1} x_{3}

-Ebene:

\vec{X} \circ \underset{\vec{n}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})}} = 0

\Leftrightarrow

x_{2} = 0

\vec{n}

ist der Normalenvektor der

x_{1} x_{3}

-Ebene.

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Der Schnittpunkt der Geraden

g

mit der

x_{1} x_{3}

-Ebene ist der gesuchte Punkt

S

, da die Seitenwand

O P Q R

in der

x_{1} x_{3}

-Ebene liegt.

Gerade

g

mit der

x_{1} x_{3}

-Ebene schneiden:

Schritt einblenden / ausblenden

Schnitt Ebene und Gerade

Schneidet eine Gerade

g : \vec{X} = \vec{P} + λ \cdot \vec{v}

eine Ebene

E

in einem Punkt

P

, dann erfüllt die Geradengleichung für ein bestimmten Wert von

λ

(von

g

) die Normalenform der Ebene

E

.

Man setzt

g

E

ein und löst nach

λ

auf.

Hier wird also

g

in die

x_{1} x_{3}

-Ebene eingesetzt und nach

λ

aufgelöst.

Da die Gleichung der Ebene

E

nur "

x_{2}

" enthält, muss auch nur die

x_{2}

-Koordinate "

4 - 8 λ

" von

g

eingesetzt werden.

4 - 8 λ = 0

λ = \frac{1}{2}

λ = \frac{1}{2}

g

einsetzen und Schnittpunkt

S

bestimmen:

\vec{S} = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) + \frac{1}{2} (\begin{matrix} - 2 \\ - 8 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1, 5 \end{matrix})

\Rightarrow

S (1 | 0 | 1, 5)

Winkel zwischen Gerade und Ebene

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Länge der Vektoren bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

| \vec{v} | = | (\begin{matrix} - 2 \\ - 8 \\ - 1 \end{matrix}) | = \sqrt{(- 2)^{2} + (- 8)^{2} + (- 1)^{2}} = \sqrt{69}

| \vec{n} | = | (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) | = \sqrt{0 + 1^{2} + 0} = 1

Winkel

α

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Winkel zwischen Ebene und Gerade

Der Sinus des Winkels

α

zwischen einer Geraden

g

und einer Ebenen

E

ist gegeben durch:

\sin α = \frac{| \vec{R V_{g}} \circ \vec{n_{E}} |}{| \vec{R V_{g}} | \cdot | \vec{n_{E}} |}

wobei

\vec{R V_{g}}

der Richtungsvektor der Geraden und

\vec{n_{E}}

der Normalenvektor der Ebene ist.

(Anmerkung: Man verwendet die Formel gerne ohne Betragsstriche im Zähler; also

\sin α = \frac{\vec{R V_{g}} \circ \vec{n_{E}}}{| \vec{R V_{g}} | \cdot | \vec{n_{E}} |}

.

Aber mit Betragsstrichen wird immer der spitze Winkel bestimmt.)

\sin α = \frac{| \vec{v} \circ \vec{n} |}{| \vec{v} | \cdot | \vec{n} |} = \frac{| (\begin{matrix} - 2 \\ - 8 \\ - 1 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) |}{| (\begin{matrix} - 2 \\ - 8 \\ - 1 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) |} = \frac{| 0 - 8 + 0 |}{\sqrt{69} \cdot 1} = \frac{8}{\sqrt{69}}

\Rightarrow

α = \sin^{- 1} (\frac{8}{\sqrt{69}}) \approx 74, 38^{\circ}

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Teilaufgabe d

Teilaufgabe e

Teilaufgabe f

Teilaufgabe g

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Themen dieser Aufgabe:

Geradengleichung aufstellen

Schnitt Ebene und Gerade

Winkel zwischen Gerade und Ebene

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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