Lösung Abitur Bayern 2012 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe c (5 BE)

Im Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit 1 m, d. h. das Zimmer ist an seiner höchsten Stelle 3 m hoch.

Das Rechteck

G H K L

mit

G (2 | 4 | 2)

hat die Breite

\bar{G L} = 1

. Es liegt in der Ebene

E

, die Punkte

H

und

K

liegen auf der Geraden

C D

. Das Rechteck stellt im Modell ein Dachflächenfenster dar; die Breite des Fensterrahmens soll vernachlässigt werden.

Geben Sie die Koordinaten der Punkte

L

H

und

K

an und bestimmen Sie den Flächeninhalt des Fensters.

(zur Kontrolle: $\bar{G H} = \sqrt{5}$ )

Lösung zu Teilaufgabe c

Lage eines Punktes

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

G (2 | 4 | 2)

\bar{G L} = 1

Schritt einblenden / ausblenden

Lage des Punktes

Nach Konstruktion hat der Punkt

L

die gleiche

x_{2}

- und

x_{3}

-Koordinate wie der Punkt

G

. Da

\bar{G L} = 1

ist, folgt:

\Rightarrow

L (2 - 1 | 4 | 2) = (1 | 4 | 2)

Die Lage von

L

ist im Vergleich zu

G

um 1 Längeneinheit in negative

x_{1}

-Richtung verschoben.

\Rightarrow

L (1 | 4 | 2)

H, K \in C D

Schritt einblenden / ausblenden

Lage des Punktes

Nach Konstruktion liegen die Punkte

H

und

K

auf der Geraden

C D

. Ihre Koordinaten unterscheiden sich zu denen vom Punkt

C

nur in der

x_{1}

-Koordinate.

\Rightarrow

H (\dots | 6 | 1)

\Rightarrow

K (\dots | 6 | 1)

Die

x_{1}

-Koordinaten von

H

und

K

entsprechen jeweils denen von

G

und

L

\Rightarrow

H (2 | 6 | 1)

\Rightarrow

K (1 | 6 | 1)

\Rightarrow

H (2 | 6 | 1)

\Rightarrow

K (1 | 6 | 1)

Flächeninhalt eines Vierecks

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

\vec{G H} = \vec{H} - \vec{G} = (\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

\bar{G H} = | \vec{G H} | = | (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}) | = \sqrt{0 + 2^{2} + (- 1)^{2}} = \sqrt{5}

Flächeninhalt bestimmen:

A = \bar{G L} \cdot \bar{G H} = 1 \cdot \sqrt{5} = \sqrt{5}

m^{2}

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Teilaufgabe a

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Teilaufgabe f

Teilaufgabe g

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Themen dieser Aufgabe:

Lage eines Punktes

Flächeninhalt eines Vierecks

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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