Lösung Abitur Bayern 2012 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe a (4 BE)

Abbildung 1 zeigt modellhaft ein Dachzimmer in der Form eines geraden Prismas. Der Boden und zwei der Seitenwände liegen in den Koordinatenebenen. Das Rechteck

A B C D

liegt in einer Ebene

E

und stellt den geneigten Teil der Deckenfläche dar.

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene

E

in Normalenform.

(mögliches Ergebnis: $E : x_{2} + 2 x_{3} - 8 = 0$ )

Lösung zu Teilaufgabe a

Ebene aus drei Punkte

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Richtungsvektoren der Ebene

E

bestimmen:

\vec{A B} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

\vec{A D} = \vec{D} - \vec{A} = (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ - 2 \end{matrix})

A

sei der Aufpunkt der Ebene.

Ebenengleichung in Normalenform

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Normalenvektor

\vec{n_{E}}

der Ebene bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

\vec{a} \times \vec{b}

zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist ein Vektor

\vec{n}

, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannte Ebene steht.

Für die komponentenweise Berechnung gilt:

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix})

\vec{A B} \times \vec{A D} = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 12 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

\Rightarrow

\vec{n_{E}} = \frac{1}{6} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 12 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

Ebenengleichung in Normalenform bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt

P

aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E : \vec{X} \circ \vec{n_{E}} = \vec{P} \circ \vec{n_{E}}

Hier (

A

ist Aufpunkt):

E : \vec{X} \circ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

\Leftrightarrow

x_{2} + 2 x_{3} = 8

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Teilaufgabe a

Teilaufgabe b

Teilaufgabe c

Teilaufgabe d

Teilaufgabe e

Teilaufgabe f

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Themen dieser Aufgabe:

Ebene aus drei Punkte

Ebenengleichung in Normalenform

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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