Lösung Abitur Bayern 2012 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe f (4 BE)

Abbildung 2 zeigt ein quaderförmiges Möbelstück, das 40 cm hoch ist. Es steht mit seiner Rückseite flächenbündig an der Wand unter dem Fenster. Seine vordere Oberkante liegt im Modell auf der Geraden

k : \vec{X} = (\begin{matrix} 0 \\ 5, 5 \\ 0, 4 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

λ \in ℝ

Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 die Breite

b

des Möbelstücks möglichst genau.
Bestimmen Sie mithilfe der Gleichung der Geraden

k

die Tiefe

t

des Möbelstücks und erläutern Sie Ihr Vorgehen.

(Messungen aus der Original-Abbildung: Höhe $h = 12$ mm und Breite $b = 78$ mm)

Lösung zu Teilaufgabe f

Länge einer Strecke

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Länge der Strecken b und h (Höhe des Möbelstücks) mit dem Lineal ausmessen:

h_{gemessen} = 12

b_{gemessen} = 78

h = 0, 4

(echte Höhe, laut Angabe)

Um nun die echte Breite

b

zu erhalten, wird das Verhältnis von Breite und Höhe aufgestellt.

Schritt einblenden / ausblenden

Dreisatz

Beim einfachen Dreisatz stehen zwei gleiche Verhältnisse gegenüber, es gibt also immer vier Werte. Das Verhältnis von zwei zusammengehörigen Werten wird als Bruch geschrieben. Die allgemeine Form ist:

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

\frac{b}{h} = \frac{b_{gemessen}}{h_{gemessen}}

\frac{b}{0, 4} = \frac{78}{12}

\Rightarrow

b = \frac{78}{12} \cdot 0, 4 = 2, 6

Ebene aus Punkt und Normalenvektor

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Erläuterung zum Vorgehen:

t

entspricht dem Abstand der Geraden

k

zur Ebene

W

, in der die Wand unter dem Fenster liegt, da

k

parallel zur Wand verläuft.

Die Ebene

W

steht senkrecht zur

x_{2}

-Achse und geht durch den Punkt

C (3 | 6 | 1)

.

Ebene

W

aufstellen:

\vec{n_{W}} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

Normalenvektor der Ebene

W

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt

P

aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E : \vec{X} \circ \vec{n_{E}} = \vec{P} \circ \vec{n_{E}}

Hier (

C

ist Aufpunkt):

W : \vec{X} \circ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 6 \\ 1 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

\Leftrightarrow

x_{2} = 6

\Leftrightarrow

x_{2} - 6 = 0

Abstand Gerade - Ebene

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

k : \vec{X} = \underset{\vec{P}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 0 \\ 5, 5 \\ 0, 4 \end{matrix})}} + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Hesse-Normalenform der Ebene

W

Schritt einblenden / ausblenden

Hesse-Normalenform der Ebene

Die Hesse-Normalenform

E^{H N F}

einer Ebene

E

entsteht durch Teilung der Normalenform der Ebene

E

mit dem Betrag des Normalenvektors.

E : \vec{X} \circ \vec{n_{E}} - d = 0

\Rightarrow E^{H N F} : \frac{\vec{X} \circ \vec{n_{E}} - d}{| \vec{n_{E}} |} = 0

d

ist das Ergebnis des Skalarprodukts aus

\vec{n_{E}}

und dem Ortsvektor des Aufpunkts von

E

.

Hier ist der Betrag des Normalenvektors gleich 1:

| \vec{n_{W}} | = | (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) | = \sqrt{0 + 1^{2} + 0} = 1

W^{H N F} : \frac{x_{2} - 6}{1} = 0

W^{H N F} : x_{2} - 6 = 0

Abstand

t

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Der Abstand der Geraden

k

zur Ebene

W

entspricht dem Abstand eines beliebigen Punktes der Geraden zur Ebene

W

.

Hier ist

P

der Aufpunkt der Geraden

k

k : \vec{X} = \underset{\vec{P}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 0 \\ 5, 5 \\ 0, 4 \end{matrix})}} + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

t = d (k; W) = d (P; W)

Schritt einblenden / ausblenden

Abstand Punkt - Ebene

Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes

P

in die Hesse-Normalenform

E^{H N F}

der Ebene

E

(zwischen Betragsstriche), bestimmt man den Abstand des Punktes zur Ebene.

E^{H N F} : \frac{\vec{X} \circ \vec{n_{E}} - d}{| \vec{n_{E}} |} = 0

\Rightarrow d (P, E) = | \frac{\vec{P} \circ \vec{n_{E}} - d}{| \vec{n_{E}} |} |

d

ist das Ergebnis des Skalarprodukts aus

\vec{n_{E}}

und dem Ortsvektor des Aufpunkts von

E

d (P; W) = | 5, 5 - 6 | = 0, 5

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe a

Teilaufgabe b

Teilaufgabe c

Teilaufgabe d

Teilaufgabe e

Teilaufgabe f

Teilaufgabe g

Lösung als Video:

Lösung als Video

Themen dieser Aufgabe:

Länge einer Strecke

Ebene aus Punkt und Normalenvektor

Abstand Gerade - Ebene

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!