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Abitur 2012 Mathematik Analytische Geometrie V
Abbildung 1 zeigt modellhaft ein Dachzimmer in der Form eines geraden Prismas. Der Boden und zwei der Seitenwände liegen in den Koordinatenebenen. Das Rechteck liegt in einer Ebene und stellt den geneigten Teil der Deckenfläche dar.

Teilaufgabe a (4 BE)
Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene in Normalenform.
(mögliches Ergebnis: )
Teilaufgabe b (2 BE)
Berechnen Sie den Abstand des Punkts von der Ebene .
Im Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit 1 m, d. h. das Zimmer ist an seiner höchsten Stelle 3 m hoch.
Das Rechteck mit hat die Breite . Es liegt in der Ebene , die Punkte und liegen auf der Geraden . Das Rechteck stellt im Modell ein Dachflächenfenster dar; die Breite des Fensterrahmens soll vernachlässigt werden.
Teilaufgabe c (5 BE)
Geben Sie die Koordinaten der Punkte , und an und bestimmen Sie den Flächeninhalt des Fensters.
(zur Kontrolle: )
Teilaufgabe d (6 BE)
Durch das Fenster einfallendes Sonnenlicht wird im Zimmer durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor repräsentiert. Eine dieser Geraden verläuft durch den Punkt und schneidet die Seitenwand im Punkt . Berechnen Sie die Koordinaten von sowie die Größe des Winkels, den diese Gerade mit der Seitenwand einschließt.
Teilaufgabe e (4 BE)
Das Fenster ist drehbar um eine Achse, die im Modell durch die Mittelpunkte der Strecken und verläuft. Die Unterkante des Fensters schwenkt dabei in das Zimmer; das Drehgelenk erlaubt eine zum Boden senkrechte Stellung der Fensterfläche.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts der Strecke und bestätigen Sie rechnerisch, dass das Fenster bei seiner Drehung den Boden nicht berühren kann.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts der Strecke und bestätigen Sie rechnerisch, dass das Fenster bei seiner Drehung den Boden nicht berühren kann.
(Teilergebnis: )
Abbildung 2 zeigt ein quaderförmiges Möbelstück, das 40 cm hoch ist. Es steht mit seiner Rückseite flächenbündig an der Wand unter dem Fenster. Seine vordere Oberkante liegt im Modell auf der Geraden , .

Teilaufgabe f (4 BE)
Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 die Breite des Möbelstücks möglichst genau.
Bestimmen Sie mithilfe der Gleichung der Geraden die Tiefe des Möbelstücks und erläutern Sie Ihr Vorgehen.
(Messungen aus der Original-Abbildung: Höhe mm und Breite mm)
Bestimmen Sie mithilfe der Gleichung der Geraden die Tiefe des Möbelstücks und erläutern Sie Ihr Vorgehen.
(Messungen aus der Original-Abbildung: Höhe mm und Breite mm)
Teilaufgabe g (5 BE)
Überprüfen Sie rechnerisch, ob das Fenster bei seiner Drehung am Möbelstück anstoßen kann.
Lösungen zu:
Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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