Lösung Abitur Bayern 2012 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe e (4 BE)

Das Fenster ist drehbar um eine Achse, die im Modell durch die Mittelpunkte der Strecken

[G H]

und

[L K]

verläuft. Die Unterkante des Fensters schwenkt dabei in das Zimmer; das Drehgelenk erlaubt eine zum Boden senkrechte Stellung der Fensterfläche.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts

M

der Strecke

[G H]

und bestätigen Sie rechnerisch, dass das Fenster bei seiner Drehung den Boden nicht berühren kann.

(Teilergebnis: $M (2 | 5 | 1, 5)$ )

Lösung zu Teilaufgabe e

Mittelpunkt einer Strecke

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Mittelpunkt bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Mittelpunkt einer Strecke

Die Formel für die Berechnung des Mittelpunktes

M

zwischen zwei Punkten

A

und

B

lautet:

\vec{M} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{A} + \vec{B})

\vec{M} = \frac{1}{2} \cdot [\vec{G} + \vec{H}] = \frac{1}{2} \cdot [(\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ 1 \end{matrix})] = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 4 \\ 10 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 1, 5 \end{matrix})

\Rightarrow

M (2 | 5 | 1, 5)

Länge einer Strecke

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Länge der Strecke

[M H]

bestimmen:

\bar{G H} = | \vec{G H} | = \sqrt{5}

(s. Teilaufgabe c)

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

M

der Mittelpunkt der Strecke

[G H]

ist, ist die Strecke

[M H]

die Hälfte der Strecke

[G H]

lang.

\Rightarrow

| \vec{M H} | = \frac{1}{2} | \vec{G H} |

| \vec{M H} | = \frac{1}{2} | \vec{G H} | = \frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1, 12

Rechnerische Bestätigung:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Der Boden des Dachzimmers liegt nach Konstruktion in der

x_{1} x_{2}

-Ebene.

Deswegen entspricht die

x_{3}

-Koordinate des Punkts

M

(

x_{3} = 1, 5

) dem Abstand vom Punkt

M

zum Dachzimmerboden.

Die Länge der Fensterkante

[M H]

ist kleiner als dieser Abstand und das Fenster kann somit den Boden nicht berühren.

| \vec{M H} | = \frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1, 12 < 1, 5

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Mittelpunkt einer Strecke

Länge einer Strecke

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