Lösung Abitur Bayern 2011 G9 Abitur Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2a (4 BE)

Der Graph

G_{h}

der in

[- a; a]

definierten Funktion

h

ist eine halbe Ellipse, die die

y

-Achse im Punkt

(0 | b)

schneidet und mit der

x

-Achse ein Flächenstück des Inhalts

A

einschließt (

a, b \in ℝ^{+}

; siehe Abbildung). Der Funktionsterm von

h

wird im Folgenden nicht benötigt.

Weisen Sie nach, dass für jede reelle Zahl

r

die Beziehung

π \int_{- a}^{a} {(h (x) + r)}^{2} d x - π \int_{- a}^{a} {(- h (x) + r)}^{2} d x = 2 π r \cdot 2 A

gilt, indem Sie die linke Seite der Gleichung geeignet umformen.

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Bestimmtes Integral

Umformen der linken Seite:

π \int_{- a}^{a} {(h (x) + r)}^{2} dx - π \int_{- a}^{a} {(- h (x) + r)}^{2} dx

⇕

ausmultiplzieren

π \int_{- a}^{a} (h^{2} (x) + 2 h (x) r + r^{2}) dx - π \int_{- a}^{a} (h^{2} (x) - 2 h (x) r + r^{2}) dx

⇕

zusammenfassen

Schritt einblenden / ausblenden

Integral einer Summe

\int_{a}^{b} f (x) dx + \int_{a}^{b} g (x) dx = \int_{a}^{b} (f (x) + g (x)) dx

π \int_{- a}^{a} (h^{2} (x) + 2 h (x) r + r^{2} - h^{2} (x) + 2 h (x) r - r^{2}) dx

π \int_{- a}^{a} 4 h (x) r dx

⇕

Konstanten aus dem Integral ziehen

4 π r \underset{A}{\underset{︸}{\int_{- a}^{a} h (x) dx}}

⇕

4 π r \cdot A

⇕

2 π r \cdot 2 A

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Themen dieser Aufgabe:

Bestimmtes Integral

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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