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Abitur 2011 G9 Abitur Mathematik LK Infinitesimalrechnung II
Gegeben ist die Funktion mit Definitionsbereich . Der Graph von wird mit bezeichnet.
Teilaufgabe 1a (4 BE)
Bestimmen Sie die Nullstelle von und geben Sie das Verhalten von an den Rändern des Definitionsbereichs an.
Teilaufgabe 1b (8 BE)
Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts sowie das Krümmungsverhalten von .
[Teilergebnis: ]
Teilaufgabe 1c (5 BE)
Geben Sie das Verhalten von für an. Berechnen Sie und zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein.
Die Einschränkung von auf das Intervall besitzt die Umkehrfunktion , die Einschränkung von auf das Intervall die Umkehrfunktion .
Teilaufgabe 1d (5 BE)
Die Graphen von und haben den Punkt gemeinsam. Berechnen Sie die Koordinaten von . Zeichnen Sie die Graphen von und in das Koordinatensystem aus Teilaufgabe 1c ein.
[Teilergebnis: ]
Teilaufgabe 1e (4 BE)
Ermitteln Sie den Term einer Stammfunktion von .
[mögliches Ergebnis: ]
Teilaufgabe 1f (5 BE)
Die Graphen von , und bilden, ergänzt durch den Koordinatenursprung, den Rand eines endlichen Flächenstücks. Berechnen Sie den Inhalt dieses Flächenstücks.
Der Graph der in definierten Funktion ist eine halbe Ellipse, die die -Achse im Punkt schneidet und mit der -Achse ein Flächenstück des Inhalts einschließt ( ; siehe Abbildung). Der Funktionsterm von wird im Folgenden nicht benötigt.

Teilaufgabe 2a (4 BE)
Weisen Sie nach, dass für jede reelle Zahl die Beziehung
gilt, indem Sie die linke Seite der Gleichung geeignet umformen.
gilt, indem Sie die linke Seite der Gleichung geeignet umformen.
Teilaufgabe 2b (5 BE)
Geben Sie an, wie die Graphen der in definierten Funktionen und aus hervorgehen.
Durch den Term auf der linken Seite der Gleichung aus Teilaufgabe 2a wird für das Volumen eines Rotationskörpers beschrieben. Für welchen der abgebildeten Gegenstände stellt dieser Rotationskörper bei passender Wahl von und ein geeignetes Modell dar? Begründen Sie Ihre Antwort.
Durch den Term auf der linken Seite der Gleichung aus Teilaufgabe 2a wird für das Volumen eines Rotationskörpers beschrieben. Für welchen der abgebildeten Gegenstände stellt dieser Rotationskörper bei passender Wahl von und ein geeignetes Modell dar? Begründen Sie Ihre Antwort.

Lösungen zu:
Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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