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Abitur 2011 G9 Abitur Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

Gegeben ist die Funktion f : x ↦ 2 x ⋅ ln ( x 2 ) mit Definitionsbereich ℝ + . Der Graph von f wird mit G f bezeichnet.
Teilaufgabe 1a  (4 BE)
Bestimmen Sie die Nullstelle von f und geben Sie das Verhalten von f an den Rändern des Definitionsbereichs an.

Teilaufgabe 1b  (8 BE)
Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts E ( x E | y E ) sowie das Krümmungsverhalten von G f .

[Teilergebnis: x E = 2 e ]


Teilaufgabe 1c  (5 BE)
Geben Sie das Verhalten von f ′ ( x ) für x → 0 an. Berechnen Sie f ( 3 ) und zeichnen Sie G f unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein.

Die Einschränkung von f auf das Intervall ] 0 ; x E ] besitzt die Umkehrfunktion g 1 , die Einschränkung von f auf das Intervall [ x E ; + ∞ [ die Umkehrfunktion g 2 .
Teilaufgabe 1d  (5 BE)
Die Graphen von f und g 2 haben den Punkt S ( x S | y S ) gemeinsam. Berechnen Sie die Koordinaten von S . Zeichnen Sie die Graphen von g 1 und g 2 in das Koordinatensystem aus Teilaufgabe 1c ein.

[Teilergebnis: x S = 2 e ]


Teilaufgabe 1e  (4 BE)
Ermitteln Sie den Term einer Stammfunktion F von f .

[mögliches Ergebnis: F ( X ) = x 2 ⋅ ln ( x 2 ) - 1 2 x 2 ]


Teilaufgabe 1f  (5 BE)
Die Graphen von f , g 1 und g 2 bilden, ergänzt durch den Koordinatenursprung, den Rand eines endlichen Flächenstücks. Berechnen Sie den Inhalt dieses Flächenstücks.

Der Graph G h der in [ - a ; a ] definierten Funktion h ist eine halbe Ellipse, die die y -Achse im Punkt ( 0 | b ) schneidet und mit der x -Achse ein Flächenstück des Inhalts A einschließt ( a , b ∈ ℝ + ; siehe Abbildung). Der Funktionsterm von h wird im Folgenden nicht benötigt.

Teilaufgabe 2a  (4 BE)
Weisen Sie nach, dass für jede reelle Zahl r die Beziehung

π ∫ - a a ( h ( x ) + r ) 2 d x - π ∫ - a a ( - h ( x ) + r ) 2 d x = 2 π r ⋅ 2 A

gilt, indem Sie die linke Seite der Gleichung geeignet umformen.

Teilaufgabe 2b  (5 BE)
Geben Sie an, wie die Graphen der in [ - a ; a ] definierten Funktionen h 1 : x ↦ h ( x ) + r und h 2 : x ↦ - h ( x ) + r aus G h hervorgehen.
Durch den Term auf der linken Seite der Gleichung aus Teilaufgabe 2a wird für r > b das Volumen eines Rotationskörpers beschrieben. Für welchen der abgebildeten Gegenstände stellt dieser Rotationskörper bei passender Wahl von a und b ein geeignetes Modell dar? Begründen Sie Ihre Antwort.


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