Lösung Abitur Bayern 2011 G9 Abitur Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1d (5 BE)

Die Einschränkung von

f

auf das Intervall

] 0; x_{E}]

besitzt die Umkehrfunktion

g_{1}

, die Einschränkung von

f

auf das Intervall

[x_{E}; + \infty [

die Umkehrfunktion

g_{2}

Die Graphen von

f

und

g_{2}

haben den Punkt

S (x_{S} | y_{S})

gemeinsam. Berechnen Sie die Koordinaten von

S

. Zeichnen Sie die Graphen von

g_{1}

und

g_{2}

in das Koordinatensystem aus Teilaufgabe 1c ein.

[Teilergebnis: $x_{S} = 2 \sqrt{e}$ ]

Lösung zu Teilaufgabe 1d

Skizze

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Schritt einblenden / ausblenden

Umkehrfunktion

Der Graph der Umkehrfunktion

g_{1}

entsteht durch Spiegelung des Graphen

G_{f}

(beschränkt auf das Intervall

] 0; x_{E} [

) an der Winkelhalbierenden

y = x

.

Analoges gilt für

g_{2}

(

f

beschränkt auf das Intervall

] x_{E}; \infty [

Schnittpunkt zweier Funktionen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Schnittpunkt

S

zwischen

f

und der Winkelhalbierenden

y = x

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen

Die Graphen zweier Funktionen schneiden sich dort, wo sie ein übereinstimmendes Wertepaar

(x, y)

, einen gemeinsamen Punkt, besitzen.

Man setzt die Funktionsgleichungen gleich und löst nach

x

auf.

2 x \cdot \ln (\frac{x}{2}) = x

|

: 2 x

(x \neq 0)

\ln (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Entlogarithmieren

Die Exponentialfunktion wird (wie in Teilaufgabe 1b)auf beiden Seiten der Gleichung

\ln (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}

angewendet.

\frac{x}{2} = e^{\frac{1}{2}}

\Rightarrow

x^{S} = 2 e^{\frac{1}{2}} = 2 \sqrt{e}

y^{S} = f (x^{S}) = f (2 \sqrt{e}) = 4 \sqrt{e} \ln (\sqrt{e})

Schritt einblenden / ausblenden

Logarithmus einer Potenz

\ln (s^{t}) = t \cdot \ln s

Hier:

\ln (\sqrt{e}) = \ln (e^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} \underset{1}{\underset{︸}{\ln e}} = \frac{1}{2}

\Rightarrow

y^{S} = 2 \sqrt{e}

\Rightarrow

S (2 \sqrt{e} | 2 \sqrt{e})

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 1f

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Lösung als Video:

Lösung als Video

Themen dieser Aufgabe:

Skizze

Schnittpunkt zweier Funktionen

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!