Lösung Abitur Bayern 2011 G9 Abitur Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1f (5 BE)

Die Graphen von

f

g_{1}

und

g_{2}

bilden, ergänzt durch den Koordinatenursprung, den Rand eines endlichen Flächenstücks. Berechnen Sie den Inhalt dieses Flächenstücks.

Lösung zu Teilaufgabe 1f

Flächenberechnung

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Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

Die Fläche, die von den Graphen

G_{g_{1}}

G_{g_{2}}

und

G_{f}

begrenzt wird, entspricht (wegen der Symmetrie zwischen Funktion und Umkehrfunktion) zwei mal die Fläche die

G_{f}

mit der Winkelhalbierenden

y = x

einschließt.

Allgemein gilt:

Schneiden sich die Graphen zweier Funktionen

f

und

g

an den Stellen

x = a

und

x = b

und

f (x) \geq g (x)

für alle

x \in [a, b]

, so ist der Inhalt der Fläche zwischen den zwei Graphen gegeben durch:

\int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x

A

=

2 \cdot \int_{0}^{2 \sqrt{e}} [x - f (x)] d x

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Uneigentliches Integral

Das uneingentliche Integral

\int_{x_{0}}^{a} f (x) d x

einer Funktion

f (x)

, die an der Stelle

x = x_{0}

eine Definitionslücke besitzt, ist definiert als Grenzwert:

\int_{x_{0}}^{a} f (x) d x = lim_{b \to x_{0}} \int_{b}^{a} f (x) d x = lim_{b \to x_{0}} [F (b) - F (a)]

wobei

F

die Stammfunktion zu

f

ist.

In diesem Fall ist die Funktion

f

an der Stelle

x = 0

nicht definiert.

=

2 \cdot lim_{b \to 0} \underset{\bar{A}}{\underset{︸}{\int_{b}^{2 \sqrt{e}} [x - f (x)] d x}}

Bestimmtes Integral

\bar{A}

berechnen:

\bar{A}

=

\int_{b}^{2 \sqrt{e}} [x - 2 x \ln (\frac{x}{2})] d x

=

\int_{b}^{2 \sqrt{e}} x d x

-

\int_{b}^{2 \sqrt{e}} 2 x \ln (\frac{x}{2}) d x

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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

Die Stammfunktion

F (x) = x^{2} \ln (\frac{x}{2}) + \frac{x^{2}}{2}

ist aus Teilaufgabe 1e bekannt.

=

{[\frac{x^{2}}{2} - x^{2} \ln (\frac{x}{2}) + \frac{x^{2}}{2}]}_{b}^{2 \sqrt{e}}

=

{[x^{2} - x^{2} \ln (\frac{x}{2})]}_{b}^{2 \sqrt{e}}

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Logarithmus einer Potenz

\ln (s^{t}) = t \cdot \ln s

Hier:

\ln (\sqrt{e}) = \ln e^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \underset{1}{\underset{︸}{\ln e}} = \frac{1}{2}

=

[4 e - 4 e \overset{1 / 2}{\overset{︷}{\ln (\sqrt{e})}}] - [b^{2} - b^{2} \ln (\frac{b}{2})]

=

2 e - b^{2} + b^{2} \ln (\frac{b}{2})

Grenzwert bestimmen:

A

=

2 \cdot lim_{b \to 0} \bar{A}

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Grenzwert

Aus Teilaufgabe 1a ist bekannt, dass

lim_{x \to 0} x^{2} \ln (\frac{x}{2}) = 0

ist.

=

2 \cdot lim_{b \to 0} 2 e - \underset{0}{\underset{︸}{b^{2}}} + \underset{\to 0}{\underset{︸}{b^{2} \ln (\frac{b}{2})}}

=

2 \cdot 2 e

=

4 e

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Flächenberechnung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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