Lösung Abitur Bayern 2011 G9 Abitur Mathematik GK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2c (4 BE)

Betrachtet wird nun die in

ℝ

definierte Integralfunktion

F : x \mapsto \int_{- 1}^{x} f (t) d t

. Der Graph von

F

wird mit

G_{F}

bezeichnet.

Begründen Sie mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse ohne Verwendung einer integralfreien Darstellung von

F

, dass

F

genau eine Nullstelle hat.

Lösung zu Teilaufgabe 2c

Eigenschaften der Integralfunktion

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F

hat für

x = - 1

eine Nullstelle (Integrationsanfang).

\int_{- 1}^{- 1} f (t) d t = 0

F

besitzt genau eine Nullstelle, da der Graph von

f (x)

für

x > 2

keine weitere Fläche mit der

x

-Achse einschließt die oberhalb der

x

-Achse liegt. Somit gibt es keine weitere positive Fläche (außer die zwischen 1 und 2) die der negativen Fläche, zwischen -1 und 1, entgegenwirkt (Flächenbilanz).

Aus Teilaufgabe 2b folgt für

x > 2

\int_{- 1}^{x} f (t) d t = \underset{- 8}{\underset{︸}{\int_{- 1}^{1} f (t) d t}} + \underset{1, 25}{\underset{︸}{\int_{1}^{2} f (t) d t}} + \underset{< 0}{\underset{︸}{\int_{2}^{x} f (t) d t}} < 0

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Teilaufgabe 2e

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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