Lösung Abitur Bayern 2011 G9 Abitur Mathematik GK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2b (7 BE)

Berechnen Sie die Inhalte der beiden Flächenstücke, die

G_{f}

mit der

x

-Achse einschließt.

[Ergebnis: Flächeninhalte: $8$ und $1, 25$ ]

Lösung zu Teilaufgabe 2b

Flächenberechnung

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Bestimmtes Integral

Das bestimmte Integral

\int_{- 1}^{1} f (x) d x

ist gleich der Fläche

A_{1}

, die der Graph

G_{f}

mit der

x

-Achse zwischen

- 1

und

1

einschließt.

Da die Fläche

A_{1}

unterhalb der

x

-Achse liegt, ist der Wert des Integrals negativ. Deswegen wird noch ein Minuszeichen davor gesetzt.

Andere Schreibweisen für

A_{1}

| \int_{- 1}^{1} f (x) d x |

oder auch

\int_{1}^{- 1} f (x) d x

(vertauschte Integrationsgrenzen)

Inhalt

A_{1}

bestimmen:

A_{1}

=

- \int_{- 1}^{1} f (x) d x

A_{1}

=

- \int_{- 1}^{1} (- 3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 6) d x

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

Die Stammfunktion einer Potenzfunktion

x^{n}

ist

\frac{1}{n + 1} \cdot x^{n + 1}

A_{1}

=

- {[- \frac{3}{4} x^{4} + 2 x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 6 x]}_{- 1}^{1}

A_{1}

=

- \underset{- 8}{\underset{︸}{[(- \frac{3}{4} + 2 + \frac{3}{2} - 6) - (- \frac{3}{4} - 2 + \frac{3}{2} + 6)]}}

\Rightarrow

A_{1} = 8

Inhalt

A_{2}

bestimmen:

A_{2}

=

\int_{1}^{2} f (x) d x

A_{2}

=

\int_{1}^{2} (- 3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 6) d x

A_{2}

=

{[- \frac{3}{4} x^{4} + 2 x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 6 x]}_{1}^{2}

A_{2}

=

\underset{\frac{5}{4}}{\underset{︸}{[(- 12 + 16 + 6 - 12) - (- \frac{3}{4} + 2 + \frac{3}{2} - 6)]}}

\Rightarrow

A_{2} = \frac{5}{4} = 1, 25

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Flächenberechnung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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