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Lösung Abitur Bayern 2011 G9 Abitur Mathematik GK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe
Teilaufgabe 2a  (5 BE)
Gegeben ist die in ℝ definierte Funktion f : x ↦ - 3 x 3 + 6 x 2 + 3 x - 6 , die die Nullstellen 1 , - 1 und 2 besitzt. Die Abbildung zeigt den Graphen G f von f .

Die Tangente t an G f im Punkt ( 1 | 0 ) legt mit den Koordinatenachsen im IV. Quadranten ein Dreieck fest. Berechnen Sie dessen Flächeninhalt A .

[Ergebnis: A = 3 ]

 
Lösung zu Teilaufgabe 2a
Tangentengleichung ermitteln






f ( x ) = - 3 x 3 + 6 x 2 + 3 x - 6

Erste Ableitung bilden:

f ′ ( x ) = - 9 x 2 + 12 x + 3


Gleichung der Tangente t ( x ) an der Stelle x 0 = 1 bestimmen:
Werte bestimmen:

x 0 = 1

f ( x 0 ) = f ( 1 ) = - 3 + 6 + 3 - 6 = 0

f ′ ( x 0 ) = f ′ ( 1 ) = - 9 + 12 + 3 = 6


t ( x ) = ( x - x 0 ) ⋅ f ′ ( x 0 ) + f ( x 0 ) (Formel für die Tangentengleichung)

t ( x ) = ( x - 1 ) ⋅ 6 + 0

⇒ t ( x ) = 6 x - 6
Flächeninhalt eines Dreiecks



Höhe h des Dreiecks bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
t ( 0 ) = 6 ⋅ 0 - 6 = - 6 ⇒ h = 6


Dreiecksfläche bestimmen:

A = 1 2 ⋅ 1 ⋅ 6 = 3
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Teilaufgabe 2e
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Themen dieser Aufgabe:
Tangentengleichung ermitteln
Flächeninhalt eines Dreiecks
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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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