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Teilaufgabe 2e

Themen dieser Aufgabe:

Definitionsbereich bestimmen

Symmetrieverhalten einer Funktion

Nullstellen einer Funktion

Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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Lösung Abitur Bayern 2011 G9 Abitur Mathematik GK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1a  (7 BE)

Gegeben ist die Funktion ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mapsto \mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(4-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\right)}$ mit maximalem Definitionsbereich ${\displaystyle {\mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$. Der Graph von ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ wird mit ${\displaystyle {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ bezeichnet.

Zeigen Sie, dass ${\displaystyle {\mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=]-2;2[}$ gilt, und geben Sie das Symmetrieverhalten von ${\displaystyle {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ an. Bestimmen Sie die Nullstellen von ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ sowie das Verhalten von ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ an den Rändern von ${\displaystyle {\mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$.

 

Lösung zu Teilaufgabe 1a

Definitionsbereich bestimmen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(4-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\right)}$

Schritt einblenden / ausblenden

Definitionsbereich der Logarithmusfunktion

${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$ ist eine Logarithmusfunktion des Typs ${\displaystyle \mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}))}$.

Die ${\displaystyle \mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$-Funktion ist nur für positive Werte in ihrem Argument definiert.
Somit gilt für die Argumentfunktion ${\displaystyle \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})>0}$.

In diesem Fall: ${\displaystyle 4-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2>0}$

${\displaystyle 4-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2>0}$

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

${\displaystyle 4-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2=0}$ ${\displaystyle \iff }$ ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2=4}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{1,2}=\pm \sqrt{4}=\pm 2}$




Der Graph der Funktion ${\displaystyle 4-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$ ist eine nach unten geöffnete Parabel. Sie hat positive Funktionswerte zwischen ihren Nullstellen ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=-2}$ und ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=2}$.

${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle -2<\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}<2}$

${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=]-2;2[}$

Symmetrieverhalten einer Funktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Symmetrie bestimmen:

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Symmetrieverhalten

Man ermittelt zunächst ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$ und vergleicht dann. Es gilt:

${\displaystyle {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ ist achsensymmetrisch zur ${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$-Achse wenn gilt: ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

${\displaystyle {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung wenn gilt: ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=-\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(4-(-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{)}^2\right)=\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(4-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\right)=\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ ist achsensymmetrisch zum zur ${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$-Achse.

Nullstellen einer Funktion

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Nullstellen bestimmen:

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Nullstellen

Der Ansatz um die Nullstellen (die Schnittpunkte einer Funktion mit der ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$-Achse) zu bestimmen, lautet stets:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=0}$

Die Gleichung muss anschließend nach ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ aufgelöst werden.

${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=0}$ ${\displaystyle \iff }$ ${\displaystyle \mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(4-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\right)=0}$

Schritt einblenden / ausblenden

Nullstellen einer Logarithmusfunktion

Da ${\displaystyle \mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}1=0}$, nimmt die Logarithmusfunktion ${\displaystyle \mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(4-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\right)}$ den Wert Null an, wenn das Argument ${\displaystyle 4-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2=1}$ ist.

${\displaystyle 4-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2=1}$

${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2=3}$

${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{1,2}^{\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\pm \sqrt{3}}$

Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs

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Die Ränder des Definitionsbereichs sind ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-2}$ und ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2}$.

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Linksseitiger/Rechtsseitiger Grenzwert

Ist der Rand des Definitionsbereich eine Definitionslücke, also eine Stelle ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ die nicht zum Definitionsbereich gehört (Stichwort: offenes Intervall), so müssen folgende Grenzwerte gebildet werden:

${\displaystyle \underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0^{+}}{lim}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$ (rechtsseitiger Grenzwert) , wenn ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ am linken Rand liegt
(z.B. ${\displaystyle ]{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0;+\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}[}$)

${\displaystyle \underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0^{-}}{lim}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$ (linksseitiger Grenzwert) , wenn ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ am rechten Rand liegt
(z.B. ${\displaystyle ]-\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>};{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0[}$)

Beim rechtsseitigen Grenzwert nähert man sich der Definitionslücke ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ von rechts.

Beim linksseitigen Grenzwert nähert man sich der Definitionslücke ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ von links.

Grenzwert gegen ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-2^{+}}$ (Annäherung von rechts an ${\displaystyle -2}$):

${\displaystyle \underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to -2^{+}}{lim}\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\underset{\to 0^{+}}{\underbrace{\left(4-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\right)}}=-\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$



Grenzwert gegen ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2^{-}}$ (Annäherung von links an ${\displaystyle 2}$):

${\displaystyle \underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to 2^{-}}{lim}\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\underset{\to 0+}{\underbrace{\left(4-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\right)}}=-\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

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Nullstellen einer Funktion

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