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Abitur 2011 G9 Abitur Mathematik GK Infinitesimalrechnung II
Gegeben ist die Funktion mit maximalem Definitionsbereich . Der Graph von wird mit bezeichnet.
Teilaufgabe 1a (7 BE)
Zeigen Sie, dass gilt, und geben Sie das Symmetrieverhalten von an. Bestimmen Sie die Nullstellen von sowie das Verhalten von an den Rändern von .
Teilaufgabe 1b (5 BE)
Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von und bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von .
Teilaufgabe 1c (2 BE)
Skizzieren Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in einem Koordinatensystem.
Gegeben ist die in definierte Funktion , die die Nullstellen , und besitzt. Die Abbildung zeigt den Graphen von .

Teilaufgabe 2a (5 BE)
Die Tangente an im Punkt legt mit den Koordinatenachsen im IV. Quadranten ein Dreieck fest. Berechnen Sie dessen Flächeninhalt .
[Ergebnis: ]
Teilaufgabe 2b (7 BE)
Berechnen Sie die Inhalte der beiden Flächenstücke, die mit der -Achse einschließt.
[Ergebnis: Flächeninhalte: und ]
Betrachtet wird nun die in definierte Integralfunktion . Der Graph von wird mit bezeichnet.
Teilaufgabe 2c (4 BE)
Begründen Sie mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse ohne Verwendung einer integralfreien Darstellung von , dass genau eine Nullstelle hat.
Teilaufgabe 2d (5 BE)
Welche Funktionswerte von lassen sich aus den in Teilaufgabe 2b berechneten Flächeninhalten ermitteln? Geben Sie Lage und Art der Extrempunkte von an.
Teilaufgabe 2e (5 BE)
Ermitteln Sie unter Verwendung des in Teilaufgabe 2a berechneten Flächeninhalts einen Näherungswert für . Skizzieren Sie in der Abbildung zu Aufgabe 2 unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse.
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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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