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Abitur 2011 G9 Abitur Mathematik GK Infinitesimalrechnung II

Gegeben ist die Funktion g : x ↦ ln ( 4 - x 2 ) mit maximalem Definitionsbereich D g . Der Graph von g wird mit G g bezeichnet.
Teilaufgabe 1a  (7 BE)
Zeigen Sie, dass D g = ] - 2 ; 2 [ gilt, und geben Sie das Symmetrieverhalten von G g an. Bestimmen Sie die Nullstellen von g sowie das Verhalten von g an den Rändern von D g .

Teilaufgabe 1b  (5 BE)
Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von g und bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von G g .

Teilaufgabe 1c  (2 BE)
Skizzieren Sie G g unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in einem Koordinatensystem.

Gegeben ist die in ℝ definierte Funktion f : x ↦ - 3 x 3 + 6 x 2 + 3 x - 6 , die die Nullstellen 1 , - 1 und 2 besitzt. Die Abbildung zeigt den Graphen G f von f .

Teilaufgabe 2a  (5 BE)
Die Tangente t an G f im Punkt ( 1 | 0 ) legt mit den Koordinatenachsen im IV. Quadranten ein Dreieck fest. Berechnen Sie dessen Flächeninhalt A .

[Ergebnis: A = 3 ]


Teilaufgabe 2b  (7 BE)
Berechnen Sie die Inhalte der beiden Flächenstücke, die G f mit der x -Achse einschließt.

[Ergebnis: Flächeninhalte: 8 und 1 , 25 ]



Betrachtet wird nun die in ℝ definierte Integralfunktion F : x ↦ ∫ - 1 x f ( t ) d t . Der Graph von F wird mit G F bezeichnet.
Teilaufgabe 2c  (4 BE)
Begründen Sie mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse ohne Verwendung einer integralfreien Darstellung von F , dass F genau eine Nullstelle hat.

Teilaufgabe 2d  (5 BE)
Welche Funktionswerte von F lassen sich aus den in Teilaufgabe 2b berechneten Flächeninhalten ermitteln? Geben Sie Lage und Art der Extrempunkte von G F an.

Teilaufgabe 2e  (5 BE)
Ermitteln Sie unter Verwendung des in Teilaufgabe 2a berechneten Flächeninhalts A einen Näherungswert für F ( 0 ) . Skizzieren Sie G F in der Abbildung zu Aufgabe 2 unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse.

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