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Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3.2 (6 BE)

Berechnen Sie $h$ so, dass das Volumen den absolut größten Wert annimmt. Runden Sie dabei nicht. Bestimmen Sie auf den nächsten ganzzahligen Wert gerundet den Wert $V_{max}$ des maximalen Volumens.

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$V (h) = π (375 h - \frac{5}{3} h^{3})$

Erste Ableitung bilden:

$V^{'} (h) = π (375 - 5 h^{2})$

Erste Ableitung Nullsetzen:

Schritt einblenden / ausblenden

$V^{'} (h) = 0$

$π (375 - 5 h^{2}) = 0$

$375 - 5 h^{2} = 0$

$h^{2} = 75$

$h = \pm \sqrt{75}$

Da $h$ als Höhe eines realen Körpers positiv sein muss, betrachtet man nur die positive Lösung:

$h_{max} = \sqrt{75}$

Bestimmen des zu $h_{max}$ gehörenden Volumens:

$V_{max} = V (h_{max}) = 375 π \cdot \sqrt{75} - \frac{5}{3} π {\sqrt{75}}^{3} \approx 6802$

Das größt mögliche Volumen beträgt $6802 m^{3}$ .

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