Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1.2 (5 BE)

Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion

f

mit Vielfachheiten.

Lösung zu Teilaufgabe 1.2

Nullstellen einer Funktion

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f (x) = \frac{3}{16} (x^{3} - 7 x^{2} + 8 x + 16)

Schritt einblenden / ausblenden

Nullstellen

Der Ansatz um die Nullstellen (die Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse) zu bestimmen, lautet stets:

f (x) = 0

Die Gleichung muss anschließend nach

x

aufgelöst werden.

f (x) = 0 \Leftrightarrow \frac{3}{16} (x^{3} - 7 x^{2} + 8 x + 16) = 0

E (4 | 0)

ist Extremum (s. Aufgabe 1.1)

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Ist

x_{0} = 0

eine Nullstelle von

f

, so gilt immer

f (x_{0}) = 0

.
Gilt zusätzlich

f^{'} (x_{0}) = 0

so nennt man

x_{0}

eine doppelte Nullstelle.

E (4 | 0)

ist Nullstelle, da

f (4) = 0

E (4 | 0)

ist nach Angabe auch Extremum, es gilt also

f^{'} (4) = 0

.

Für

x_{1}^{N} = 4

ist

f (x_{1}^{N}) = f^{'} (x_{1}^{N}) = 0

Also ist

x_{1}^{N} = 4

eine doppelte Nullstelle von

f

\Rightarrow x_{1}^{N} = 4

ist doppelte Nullstelle

Schritt einblenden / ausblenden

Vielfachheit von Nullstellen

Die Vielfachheit einer Nullstelle gibt an, auf welche Art die Funktion die

x

-Achse in einem Punkt "berührt" oder "schneidet".

1-fache Nullstelle: Schnittstelle mit der

x

-Achse.
2-fache (doppelte) Nullstelle: Berührstelle mit der

x

-Achse.
3-fache Nullstelle: Nullstelle ist ein Sattelpunkt.

(x - 2)^{2} = (x - 2) (x - 2) \Rightarrow x = 2

ist doppelte Nullstelle

(x + 5)^{2} = (x + 5) (x + 5) \Rightarrow x = - 5

ist doppelte Nullstelle

\Rightarrow f (x) = (x - 4)^{2} (x - x_{2}^{N}) = (x^{2} - 8 x + 16) (x - x_{2}^{N})

Ermitteln von

x_{2}^{N}

mittels Polynomdivision:

Schritt einblenden / ausblenden

Polynomdivision

Polynome lassen sich in Summenschreibweise oder auch faktorisiert schreiben. Das Polynom

x^{2} + x - 2

beispielsweise lässt sich in Faktoren folgendermaßen schreiben:

x^{2} + x - 2 = (x + 2) (x - 1)

x_{1} = - 2

und

x_{2} = 1

sind dabei die Nullstellen des Polynoms.

Bei einer Polynomdivision ist bereits eine Nullstelle bekannt. Wir haben zum Beispiel durch Rechnung oder durch Ausprobieren herausgefunden, dass

x = 1

eine Nullstelle dieses Polynoms ist. Die zweite noch nicht bekannte Lösung, erhalten wir durch Polynomdivision. In der faktorisierten Schreibweise wird das deutlich:

(x + 2) (x - 1) : (x - 1) = \frac{(x + 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(x + 2) \cdot 1}{1} = x + 2

Die Nullstellen des Ergebnisses sind dann die restlichen Nullstellen unseres Polynoms, in diesem Fall also

x = - 2

.

Da aber in der Regel nicht alle Faktoren bekannt sind (sonst hätten wir ja auch schon alle Nullstellen) wird die Polynomdivision in der Summenform durchgeführt.

x_{1}^{N} = 4

doppelte Nullstelle

x_{2}^{N} = - 1

einfache Nullstelle

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Nullstellen einer Funktion

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