Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3.1 (6 BE)

Eine Biogasanlage besteht aus einem zylinderförmigen, oben offenen Grundkörper, das Dach der Höhe

h

ist kegelförmig (siehe nebenstehende Skizze des Querschnitts).
Die Mantellänge

s

des Kegels beträgt

15

m. Die folgenden Rechnungen werden ohne Einheiten durchgeführt.

Stellen Sie die Maßzahl

V

des Volumens der gesamten Biogasanlage in Abhängigkeit von der Höhe

h

dar und geben Sie eine im gegebenen Sachzusammenhang sinnvolle Definitionsmenge der Funktion

V : h \mapsto V (h)

an.
[Mögliches Teilergebnis:

V (h) = (375 h - \frac{5}{3} h^{3}) \cdot π

]

Lösung zu Teilaufgabe 3.1

Volumen eines geometrischen Körpers

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Das Gesamtvolumen setzt sich aus zwei Teilvolumina zusammen:

V = V_{Zylinder} + V_{Kegel}

Berechnen des Zylindervolumens:

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen eines Zylinders

Das Volumen eines Zylinders mit dem Radius

r

und der Höhe

h

berechnet sich aus dem Produkt aus der kreisförmigen Grundfläche

A_{Kreis}

und der Höhe.

V_{Zylinder} = A_{Kreis} \cdot h = π r^{2} h

V_{Zylinder} = π r^{2} \cdot \frac{4}{3} h

Berechnen des Kegelvolumens:

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen eines Kegels

Das Volumen eines Kegels mit dem Radius

r

und der Höhe

h

berechnet sich aus dem Produkt aus der kreisförmigen Grundfläche

A_{Kreis}

und dem Drittel der Höhe.

V_{Kegel} = \frac{1}{3} A_{Kreis} \cdot h = \frac{1}{3} π r^{2} h

V_{Kegel} = \frac{1}{3} π r^{2} h

Für das Gesamtvolumen der Biogasanlage ergibt sich:

V = V_{Zylinder} + V_{Kegel}

= π r^{2} \cdot \frac{4}{3} h + \frac{1}{3} π r^{2} h

= \frac{5}{3} π r^{2} h

Schritt einblenden / ausblenden

Während man für

h

einen beliebigen Wert wählen kann, muss der Radius

r

so gewählt werden (in Abhängigkeit von

h

), dass die genannte Bedingung für die Mantellänge

s = 15

erfüllt ist.
Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich nachfolgende Bedingung:

s^{2} = r^{2} + h^{2}

15^{2} = r^{2} + h^{2}

r^{2} = 225 - h^{2}

Einsetzen der Bedingung in die Volumenformel:

V (h) = \frac{5}{3} π (225 - h^{2}) h

= π (375 h - \frac{5}{3} h^{3})

Definitionsbereich bestimmen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Für die Größe

h

gibt es folgende Bedingungen, die alle erfüllt sein müssen:

$h$ muss als Höhe eines realen Körpers positiv sein
$\Rightarrow$ $h > 0$

$r$ muss als Radius positiv sein
$\Rightarrow$ $r > 0$

Mit $r^{2} = 225 - h^{2}$ folgt:

$225 - h^{2} > 0$

Schritt einblenden / ausblenden

Vorzeichenwechsel

Die Funktion

225 - h^{2}

ist eine nach unten geöffnete Parabel und hat Nullstellen bei

h = \pm 15

. Zwischen den beiden Nullstellen ist der Ausdruck positiv.

Um die Bedingungen zu kombinieren, bedient man sich der Anschauung durch einen Zahlenstrahl:

\Rightarrow

0 < h < 15

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Da beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen, kann

h

nur Werte zwischen

0

und

15

annehmen.
Die Ränder sind ausgeschlossen, da für

h = 0

bzw.

r = 0

kein geometrischer Körper entstehen kann.
Es folgt also für die Definitionsmenge:

\Rightarrow

D_{V} =] 0; 15 [

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Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Volumen eines geometrischen Körpers

Definitionsbereich bestimmen

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