Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2.2 (7 BE)

Bestimmen Sie die maximalen Krümmungsintervalle und die Koordinaten der Wendepunkte des Graphen

G_{g_{a}}

Lösung zu Teilaufgabe 2.2

Krümmungsverhalten einer Funktion

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g_{a} (x) = \frac{1}{8} (a x^{4} - 4 x^{3})

g_{a}^{'} (x) = \frac{1}{8} (4 a x^{3} - 12 x^{2})

(s. Aufgabe 2.1)

g_{a}^{''} (x) = \frac{1}{8} (12 a x^{2} - 24 x)

(s. Aufgabe 2.1)

Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Krümmungsverhalten einer Funktion

Das Vorzeichen der zweiten Ableitung gibt Aufschluss über das Krümmungsverhalten des Graphen.

Es gilt:

Ist die zweite Ableitung einer Funktion

f

negativ auf einem Intervall

] a, b [

, d.h.

f^{''} (x) < 0

für

x \in] a; b [

, so ist der Graph der Funktion

G_{f}

in diesem Intervall rechtsgekrümmt.

Ist die zweite Ableitung einer Funktion

f

positiv auf einem Intervall

] a, b [

, d.h.

f^{''} (x) > 0

für

x \in] a; b [

, so ist der Graph der Funktion

G_{f}

in diesem Intervall linksgekrümmt.

Ist die zweite Ableitung einer Funktion

f

gleich Null an einer Stelle

x^{W}

, d.h.

f^{''} (x^{W}) = 0

, und findet ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung an dieser Stelle statt, so liegt ein Wendepunkt an der Stelle

x^{W}

vor.

Die Funktion

g_{a}^{''} (x) = \frac{1}{8} (12 a x^{2} - 24 x)

ist eine nach oben geöffnete Parabel.

Bestimmen der Nullstellen von

g_{a}^{''} (x)

g_{a}^{''} (x) = 0

\frac{1}{8} (12 a x^{2} - 24 x) = 0

12 a x^{2} - 24 x = 0

x (a x - 2) = 0

x = 0

\lor

x = \frac{2}{a}

g_{a}^{''} (x) > 0

für

x < 0

oder

x > \frac{2}{a}

\Rightarrow

G_{g_{a}}

ist im Bereich

] - \infty; 0 [

\cup

] \frac{2}{a}; \infty [

linksgekrümmt.

g_{a}^{''} (x) < 0

für

0 < x < \frac{2}{a}

\Rightarrow

G_{g_{a}}

ist im Bereich

] 0; \frac{2}{a} [

rechtsgekrümmt.

Wendestellen bei

x_{1}^{W} = 0

und

x_{2}^{W} = \frac{2}{a}

y

-Werte an den Wendestellen bestimmen:

f (x_{1}^{W}) = f (0) = 0

\Rightarrow

E_{1} (0 | 0)

Terrassenpunkt (siehe Aufgabe 2.1)

f (x_{2}^{W}) = f (\frac{2}{a}) = \frac{1}{8} (a \cdot {(\frac{2}{a})}^{4} - 4 \cdot {(\frac{2}{a})}^{3})

= \frac{1}{8} (\frac{16}{a^{3}} - \frac{32}{a^{3}}) = - \frac{2}{a^{3}}

\Rightarrow

W (\frac{2}{a} ∣ - \frac{2}{a^{3}})

Wendepunkt

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Themen dieser Aufgabe:

Krümmungsverhalten einer Funktion

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