Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2.5 (5 BE)

Die Graphen

G_{f}

und

G_{g_{1}}

schließen im

1

. und

4

. Quadranten zusammen mit der

y

-Achse ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl seines Inhalts.

Lösung zu Teilaufgabe 2.5

Flächenberechnung

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Gesucht ist das Flächenstück zwischen zwei Graphen. Es wird begrenzt von der

y

-Achse und der Nullstelle

x = 4

Schritt einblenden / ausblenden

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

Der Inhalt eines Flächenstücks zwischen zwei Funktionsgraphen

G_{f}

und

G_{g}

ist gegeben durch:

A = \int_{a}^{b} | f (x) - g (x) | dx

Sind die Integrationsgrenzen

a

und

b

nicht explizit vorgegeben, so verwendet man hierfür die Schnittpunkte der beiden Graphen

G_{f}

und

G_{g}

.

Da nur zwei Schnittpunkte vorhanden sind, kann der innere Betrag weggelassen werden.

Vorsicht: kommt insgesamt beim Integral ein negativer Wert heraus, muss nur das Integral in Betrag gesetzt werden.

A = \int_{0}^{4} [f (x) - g_{1} (x)] dx

A = \int_{0}^{4} [\frac{3}{16} x^{3} - \frac{21}{16} x^{2} + \frac{3}{2} x + 3 - (\frac{1}{8} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3})] dx

A = \int_{0}^{4} [- \frac{1}{8} x^{4} + \frac{11}{16} x^{3} - \frac{21}{16} x^{2} + \frac{3}{2} x + 3] dx

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

A = {[- \frac{1}{40} x^{5} + \frac{11}{64} x^{4} - \frac{7}{16} x^{3} + \frac{3}{4} x^{2} + 3 x]}_{0}^{4}

A = (- \frac{1}{40} \cdot 4^{5} + \frac{11}{64} \cdot 4^{4} - \frac{7}{16} \cdot 4^{3} + \frac{3}{4} \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4) - (0) = \frac{72}{5}

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Themen dieser Aufgabe:

Flächenberechnung

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