Abitur 2010 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

Der Graph

G_{f}

einer ganzrationalen Funktion

f

dritten Grades besitzt den Extrempunkt

E (4 | 0)

, schneidet die

y

-Achse im Punkt

(0 | 3)

und hat an der Stelle

x_{w} = \frac{7}{3}

einen Wendepunkt.

Teilaufgabe 1.1 (9 BE)

Bestimmen Sie den Funktionsterm

f (x)

.
[Mögliches Ergebnis:

f (x) = \frac{3}{16} (x^{3} - 7 x^{2} + 8 x + 16)

]

Teilaufgabe 1.2 (5 BE)

Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion

f

mit Vielfachheiten.

Teilaufgabe 1.3 (5 BE)

Bestimmen Sie Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen

G_{f}

auf zwei Nachkommastellen genau.

Teilaufgabe 1.4 (4 BE)

Zeichnen Sie den Graphen

G_{f}

im Bereich

- 1, 5 \leq x \leq 5

mithilfe vorliegender und weiterer geeigneter Funktionswerte in ein Koordinatensystem. Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE = 1 cm

Gegeben sind die reellen Funktionen

g_{a} : x \mapsto \frac{1}{8} (a x^{4} - 4 x^{3})

mit

a \in ℝ \land a > 0

und

D_{g_{a}} = ℝ

. Der Graph wird mit

G_{g_{a}}

bezeichnet.

Teilaufgabe 2.1 (7 BE)

Ermitteln Sie die Koordinaten sämtlicher Punkte mit waagrechter Tangente des Graphen

G_{g_{a}}

und deren Art.

Teilaufgabe 2.2 (7 BE)

Bestimmen Sie die maximalen Krümmungsintervalle und die Koordinaten der Wendepunkte des Graphen

G_{g_{a}}

Teilaufgabe 2.3 (2 BE)

Berechnen Sie

a

so, dass die Graphen

G_{f}

aus Teilaufgabe 1.1 und

G_{g_{a}}

bei

x = 4

einen gemeinsamen Punkt besitzen.
[Ergebnis:

a = 1

]

Teilaufgabe 2.4 (4 BE)

Zeichnen Sie den Graphen der Funktion

g_{1}

, mit

g_{1} (x) = \frac{1}{8} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3}

im Bereich

- 1, 5 \leq x \leq 4, 5

mit Hilfe vorliegender Ergebnisse in das vorhandene Koordinatensystem ein.

Teilaufgabe 2.5 (5 BE)

Die Graphen

G_{f}

und

G_{g_{1}}

schließen im

1

. und

4

. Quadranten zusammen mit der

y

-Achse ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl seines Inhalts.

Eine Biogasanlage besteht aus einem zylinderförmigen, oben offenen Grundkörper, das Dach der Höhe

h

ist kegelförmig (siehe nebenstehende Skizze des Querschnitts).
Die Mantellänge

s

des Kegels beträgt

15

m. Die folgenden Rechnungen werden ohne Einheiten durchgeführt.

Teilaufgabe 3.1 (6 BE)

Stellen Sie die Maßzahl

V

des Volumens der gesamten Biogasanlage in Abhängigkeit von der Höhe

h

dar und geben Sie eine im gegebenen Sachzusammenhang sinnvolle Definitionsmenge der Funktion

V : h \mapsto V (h)

an.
[Mögliches Teilergebnis:

V (h) = (375 h - \frac{5}{3} h^{3}) \cdot π

]

Teilaufgabe 3.2 (6 BE)

Berechnen Sie

h

so, dass das Volumen den absolut größten Wert annimmt. Runden Sie dabei nicht. Bestimmen Sie auf den nächsten ganzzahligen Wert gerundet den Wert

V_{max}

des maximalen Volumens.

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1.1

Teilaufgabe 1.2

Teilaufgabe 1.3

Teilaufgabe 1.4

Teilaufgabe 2.1

Teilaufgabe 2.2

Teilaufgabe 2.3

Teilaufgabe 2.4

Teilaufgabe 2.5

Teilaufgabe 3.1

Teilaufgabe 3.2

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