Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik GK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2d (4 BE)

Geben Sie zwei Punkte an, die zusammen mit

C

eine Ebene festlegen, die das Prisma in zwei volumengleiche Teile teilt. Begründen Sie Ihre Antwort.

Lösung zu Teilaufgabe 2d

Volumen eines Prismas

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Die Punkte

C

C^{'}

und

M

(Mittelpunkt der Strecke

[A B]

, siehe Teilaufgabe 1d) bilden eine Ebene, die das Prisma in zwei volumengleiche Teile teilt.

Begründung:

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen eines Körpers

Wenn die Grundfläche

G

des Prismas in zwei inhaltsgleiche Flächen geteilt wird und die Höhe

h

der zwei Teilkörper die gleiche ist, dann haben diese auch dasselbe Volumen

V = \frac{G}{2} \cdot h

Die Grundfläche

A B C

des Prismas wird durch die Ebene

C M C^{'}

bzw. durch die Strecke

[C M]

in zwei inhaltsgleiche Dreiecke

C M B

und

C A M

geteilt.

Für die Fläche der verschiedenen Dreiecke gilt:

A_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot \bar{C B} \cdot \bar{C A}

A_{C M B} = \frac{1}{2} \cdot \bar{C B} \cdot h

(

h

Höhe des Dreiecks CMB)

Schritt einblenden / ausblenden

Strahlensatz

Wird ein Strahl von zwei parallelen Geraden geschnitten, dann gelten folgende Beziehungen (zwischen den Strecken):

1.

\frac{a}{x} = \frac{b}{y}

und

\frac{a}{c} = \frac{b}{d}

\frac{v}{w} = \frac{a}{x}

bzw.

\frac{v}{w} = \frac{b}{y}

In diesem Fall (wenn

B

der Punkt ist aus dem der Strahl kommt) gilt nach 2):

\frac{h}{\bar{C A}} = \frac{\bar{B M}}{\bar{B A}}

Da sich die Punkte

A, B

und

C

auf dem Thaleskreis um

M

befinden (siehe Teilaufgabe 1d), gilt:

\frac{h}{\bar{C A}} = \frac{r}{2 r}

\Rightarrow h = \frac{1}{2} \cdot \bar{C A}

= \frac{1}{2} \cdot \bar{C B} \cdot \frac{1}{2} \cdot \bar{C A}

= \frac{1}{4} \cdot \bar{C B} \cdot \bar{C A}

= \frac{1}{2} \cdot A_{A B C}

\Rightarrow

A_{C A M} = A_{C M B}

Alternative Lösung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Die Grundfläche

A B C

der Prismas wird durch die Ebene

C M C

bzw. durch die Strecke

[C M]

in zwei inhaltsgleiche Dreiecke

C M B

und

C A M

geteilt.

∡ B M C = μ

;

∡ C M A = 180^{\circ} - μ

Für die Flächen der beiden Teildreiecke gilt:

A_{B C M} = \frac{1}{2} \cdot \bar{M B} \cdot \bar{M C} \cdot \sin (∡ B M C) = \frac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot \sin μ

A_{C A M} = \frac{1}{2} \cdot \bar{M C} \cdot \bar{M A} \cdot \sin (∡ C M A) = \frac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot \sin (180^{\circ} - μ)

Wegen

\sin μ = \sin (180^{\circ} - μ)

(gilt für

0 \leq μ \leq 180^{\circ}

) sind die Flächen der beiden Teildreiecke inhaltsgleich.

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Teilaufgabe 2d

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Volumen eines Prismas

Alternative Lösung

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die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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