Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik GK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2b (7 BE)

Zeigen Sie, dass der Verschiebungsvektor

A A^{'}

zur Grundfläche

A B C

senkrecht steht, und bestimmen Sie das Volumen des Prismas.

Lösung zu Teilaufgabe 2b

Lagebeziehung von Vektoren

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

A (7 | 5 | 1)

A^{'} (3 | 7 | 1)

B (2 | - 5 | 6)

C (2 | - 5 | 1)

\vec{A A^{'}} = \vec{A^{'}} - \vec{A} = (\begin{matrix} 3 \\ 7 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 7 \\ 5 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 4 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

\vec{C A} = \vec{A} - \vec{C} = (\begin{matrix} 7 \\ 5 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ - 5 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{matrix})

\vec{B A} = \vec{A} - \vec{B} = (\begin{matrix} 7 \\ 5 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ - 5 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \\ 10 \\ - 5 \end{matrix})

Skalarprodukt bilden:

Schritt einblenden / ausblenden

\vec{C A} \circ \vec{A A^{'}} = (\begin{matrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} - 4 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) = - 20 + 20 + 0 = 0

\vec{B A} \circ \vec{A A^{'}} = (\begin{matrix} 5 \\ 10 \\ - 5 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} - 4 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) = - 20 + 20 + 0 = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Lagebeziehung zwischen Vektoren

Die Vektoren

\vec{C A}

und

\vec{B A}

spannen die Ebene

A B C

auf.
Da der Vektor

\vec{A A^{'}}

senkrecht zu beiden Vektoren steht, steht er auch senkrecht zur Grundfläche

A B C

\Rightarrow

Der Verschiebungsvektor

\vec{A A^{'}}

steht senkrecht zur Grundfläche

A B C

Alternative Lösung

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Gleichung der Ebene aus den Punkten

A, B

und

C

aufstellen (bzw. begründen, dass die Ebene, die die 3 Punkte aufspannen, die Ebene E ist aus Teilaufgabe 1b).
Normalenvektor der Ebene mit Vektor

\vec{A A^{'}}

vergleichen.

Volumen eines Prismas

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Länge der Vektoren

\vec{C A}

\vec{C B}

und

\vec{A A^{'}}

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

| \vec{C A} | = \sqrt{{(\begin{matrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{5^{2} + 10^{2} + 0^{2}} = \sqrt{125} = 5 \sqrt{5}

| \vec{C B} | = \sqrt{{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 5^{2}} = \sqrt{25} = 5

| \vec{A A^{'}} | = \sqrt{{(\begin{matrix} - 4 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{(- 4)^{2} + 2^{2} + 0^{2}} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}

Volumen bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen eines Prismas

Für das Volumen eines Prismas gilt: "V = Grundfläche

G

mal Höhe

h

"

Die Grundfläche

G

besteht in diesem Fall aus dem rechtwinkligen Dreieck

A B C

und die Höhe

h

ist gleich der Länge der Strecke

[A A]^{'}

V = G \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \vec{C A} \cdot \vec{C B} \cdot \vec{A A^{'}} = \frac{1}{2} \cdot 5 \sqrt{5} \cdot \sqrt{25} 2 \sqrt{5} = 125

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

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Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Lagebeziehung von Vektoren

Alternative Lösung

Volumen eines Prismas

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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