Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik GK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2c (6 BE)

Das Rechteck

A A^{'} B^{'} B

ist eine Seitenfläche des Prismas. Die Diagonalen des Rechtecks schneiden sich im Punkt

N

. Begründen Sie, dass alle Ecken des Prismas auf einer Kugel um

N

liegen.

Lösung zu Teilaufgabe 2c

Lagebeziehung Punkt und Kugel

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Begründung für die Punkte

A

A^{'}

B

und

B^{'}

:

Die Seitenfläche

A A^{'} B B^{'}

ist ein Rechteck. Die Diagonalen schneiden sich im Punkt

N

und halbieren sich somit. D.h. die Strecken

[N A]

[N A^{'}]

[N B]

und

[N B^{'}]

sind gleich lang.

Die Punkte

A

A^{'}

B

und

B^{'}

liegen also auf einem Kreis um N mit einem Radius der Länge

[N B]

, also auch auf einer Kugel um

N

mit einem Radius der Länge

[N B]

Begründung für die Punkte

C

und

C^{'}

(durch Rechnung):

Mittelpunkt

N

bestimmen:

\vec{N} = \frac{1}{2} \cdot [\vec{A^{'}} + \vec{B}] = \frac{1}{2} \cdot [(\begin{matrix} 3 \\ 7 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 \\ - 5 \\ 6 \end{matrix})] = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 7 \end{matrix})

\Rightarrow

N (\frac{5}{2} | 1 | \frac{7}{2})

Schritt einblenden / ausblenden

Lösungsweg

Man zeigt durch Rechnung, dass die Vektoren

\vec{N B}

und

\vec{N C}

gleiche Länge haben, also

| \vec{N B} | = | \vec{N C} |

Da aus Symmetriegründen die Strecken

[N C]

und

[N C^{'}]

gleich lang sind, ist gezeigt, dass der Abstand aller Eckpunkte des Prismas zum Punkt

N

gleich ist.

Vektoren

\vec{N B}

\vec{N C}

und ihre Länge bestimmen:

\vec{N B} = \vec{B} - \vec{N} = (\begin{matrix} 2 \\ - 5 \\ 6 \end{matrix}) - \frac{1}{2} (\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ - 6 \\ \frac{5}{2} \end{matrix})

\vec{N C} = \vec{C} - \vec{N} = (\begin{matrix} 2 \\ - 5 \\ 1 \end{matrix}) - \frac{1}{2} (\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ - 6 \\ - \frac{5}{2} \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

| \vec{N B} | = \sqrt{{(\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ - 6 \\ \frac{5}{2} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{{(- \frac{1}{2})}^{2} + (- 6)^{2} + {(\frac{5}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{170}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{170}

| \vec{N C} | = \sqrt{{(\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ - 6 \\ - \frac{5}{2} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{{(- \frac{1}{2})}^{2} + (- 6)^{2} + {(- \frac{5}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{170}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{170}

\Rightarrow | \vec{N B} | = | \vec{N C} |

\Rightarrow

C

und

C^{'}

liegen auf derselben Kugel um

N

, auf der auch die anderen Eckpunkte des Prismas liegen

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Themen dieser Aufgabe:

Lagebeziehung Punkt und Kugel

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