Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik GK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1b (6 BE)

Die Ebene

E

enthält den Punkt

B

und die Gerade

g

. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene

E

in Normalenform. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat die Ebene

E

?
[mögliches Ergebnis:

2 x_{1} - x_{2} - 9 = 0

]

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Ebene aus Punkt und Gerade

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

A (7 | 5 | 1)

B (2 | - 5 | 6)

g : \vec{X} = (\begin{matrix} 7 \\ 5 \\ 1 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

\vec{B} = (\begin{matrix} 2 \\ - 5 \\ 6 \end{matrix})

Ortsvektor (des Aufpunkts) der Ebene

E

\vec{v} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

Richtungsvektor der Geraden

g

ist ein Richtungsvektor der Ebene

E

Zweiter Richtungsvektor der Ebene

E

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Richtungsvektor

Man wählt einen Punkt auf der Geraden

g

, z.B.

A

, und verbindet diesen mit dem Punkt

B

, den die Ebene

E

enthalten soll.

Der Vektor

\vec{A B}

ist dann ein Richtungsvektor der Ebene

E

\vec{A B} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{matrix} 2 \\ - 5 \\ 6 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 7 \\ 5 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 5 \\ - 10 \\ 5 \end{matrix})

(Verbindugsvektor von

A

und

B

)

Ebenengleichung in Normalenform

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Normalenvektor

\vec{n_{E}}

der Ebene

E

aus den beiden Richtungsvektoren bestimmen:

\vec{v} \times \vec{A B} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 5 \\ - 10 \\ 5 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

\vec{a} \times \vec{b}

zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist ein Vektor

\vec{n}

, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht.

Für die komponentenweise Berechnung gilt:

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix})

In diesem Fall ist:

(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 5 \\ - 10 \\ 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \cdot 5 - 0 \cdot (- 10) \\ 0 \cdot (- 5) - 1 \cdot 5 \\ 1 \cdot (- 10) - 2 \cdot (- 5) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 10 \\ - 5 \\ 0 \end{matrix})

= (\begin{matrix} 10 \\ - 5 \\ 0 \end{matrix})

Normalenvektor vereinfachen:

Schritt einblenden / ausblenden

\vec{n_{E}} = \frac{1}{5} \cdot (\begin{matrix} 10 \\ - 5 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})

Normalenform

E^{N}

der Ebene

E

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E^{N} : [\vec{X} - \vec{P}] \circ \vec{n_{E}} = 0

Hier (

B

ist Aufpunkt):

E^{N} : [\vec{X} - (\begin{matrix} 2 \\ - 5 \\ 6 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) = 0

Kann auch geschrieben werden:

\vec{X} \circ (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 5 \\ 6 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})

E^{N} : \vec{X} \circ (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 5 \\ 6 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})

E^{N} : 2 x_{1} - x_{2} = 9

E^{N} : 2 x_{1} - x_{2} - 9 = 0

Besondere Lage im Koordinatensystem

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Die Ebene

E

ist parallel zur

x_{3}

-Achse, da der Normalenvektor

\vec{n_{E}}

der Ebene senkrecht zum Richtungsvektor

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

der

x_{3}

-Achse steht.

Schritt einblenden / ausblenden

(\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = 2 \cdot 0 - 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

Lösung als Video:

Lösung als Video

Themen dieser Aufgabe:

Ebene aus Punkt und Gerade

Ebenengleichung in Normalenform

Besondere Lage im Koordinatensystem

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!