Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik GK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1c (5 BE)

Der Punkt

C

ist Fußpunkt des Lotes vom Punkt

B

auf die Gerade

g

. Berechnen Sie die Koordinaten von

C

.
[Ergebnis:

C (2 | - 5 | 1)

]

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Lotfußpunkt auf eine Gerade

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

B (2 | - 5 | 6)

g : \vec{X} = (\begin{matrix} 7 \\ 5 \\ 1 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

λ \in ℝ

\Rightarrow

\vec{v} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

ist Richtungsvektor der Geraden

g

Schritt einblenden / ausblenden

Hilfsebene

Um den Punkt

C

des Lotes von

B

auf

g

zu bestimmen, bildet man zuerst eine Hilfsebene, die durch

B

geht und senkrecht zu

g

steht. Diese Ebene scheidet somit die Gerade

g

im Lotfußpunkt

C

Hilfsebene

H

durch

B

senkrecht zu

g

aufstellen:

Schritt einblenden / ausblenden

Ebenengleichung

Eine Ebene

H

ist durch einen Punkt

P

und einen Normalenvektor

\vec{n_{H}}

eindeutig bestimmt. Die Ebenengleichung (in Normalenform) lautet:

H^{N} : [\vec{X} - \vec{P}] \circ \vec{n_{H}} = 0

Hier ist der Normalenvektor gleich dem Richtungsvektor der Geraden

g

, da die Ebene senkrecht zu ihr stehen soll:

\vec{n_{H}} = \vec{v}

H^{N} : [\vec{X} - (\begin{matrix} 2 \\ - 5 \\ 6 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) = 0

H^{N} : x_{1} + 2 x_{2} + 8 = 0

Hilfsebene

H

mit Gerade

g

schneiden:

H \cap g

Schritt einblenden / ausblenden

Schnitt Ebene und Gerade

Schneidet eine Gerade

g : \vec{X} = \vec{P} + λ \cdot \vec{v}

eine Ebene

H^{N}

in einem Punkt

C

, dann erfüllt die Geradengleichung für einen bestimmten Wert von

λ

(von

g

) die Normalenform der Ebene

H^{N}

.

Man setzt

g

H^{N}

ein und löst nach

λ

auf.

g : \vec{X} = (\begin{matrix} 7 \\ 5 \\ 1 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

\Leftrightarrow

\begin{matrix} x_{1} = 7 + λ \\ x_{2} = 5 + 2 λ \\ x_{3} = 1 \end{matrix}

\begin{matrix} x_{1} = 7 + λ \\ x_{2} = 5 + 2 λ \\ x_{3} = 1 \end{matrix}

H^{N} : x_{1} + 2 x_{2} + 8 = 0

einsetzen:

7 + λ + 2 \cdot (5 + 2 λ) + 8 = 0

7 + λ + 10 + 4 λ + 8 = 0

5 λ + 25 = 0

λ = - 5

λ = - 5

in die Geradengleichung einsetzen:

\vec{C} = (\begin{matrix} 7 \\ 5 \\ 1 \end{matrix}) - 5 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 5 \\ 1 \end{matrix})

\Rightarrow

Der Lotfußpunkt hat die Koordinaten

C (2 | - 5 | 1)

Alternative Lösung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Lotfußpunkt über die Lotfußpunktsformel bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Lotfußpunktsformel

Formel für die Bestimmung des Lotfußpunktes

C

eines Lotes von einem Punkt

P

auf eine Gerade

g

[\vec{g} - \vec{P}] \circ \vec{v}

"Gerade

g

minus Punkt

P

mal Richtungsvektor

v

der Geraden

g

ist gleich Null"

Hier ist

P

der Punkt

B

[(\begin{matrix} 7 \\ 5 \\ 1 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ - 5 \\ 6 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) = 0

Skalarmultiplikation ausführen, nach

λ

auflösen und das gefunden

λ

in die Geradengleichung einsetzen, um den Lotfußpunkt zu berechnen.

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

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Themen dieser Aufgabe:

Lotfußpunkt auf eine Gerade

Alternative Lösung

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die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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