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Abitur 2010 Mathematik GK Analytische Geometrie VI
In einem kartesischen Koordinatensystem mit Ursprung sind die Punkte , und die Gerade , , gegeben.
Teilaufgabe 1a (2 BE)
Zeigen Sie, dass der Punkt nicht auf der Geraden liegt.
Teilaufgabe 1b (6 BE)
Die Ebene enthält den Punkt und die Gerade . Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene in Normalenform. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat die Ebene ?
[mögliches Ergebnis: ]
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Teilaufgabe 1c (5 BE)
Der Punkt ist Fußpunkt des Lotes vom Punkt auf die Gerade . Berechnen Sie die Koordinaten von .
[Ergebnis: ]
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Teilaufgabe 1d (4 BE)
ist der Mittelpunkt der Strecke . ist die Kugel mit Mittelpunkt und Radius . Begründen Sie, dass die Gerade die Kugel in den Punkten und schneidet.
Durch Verschiebung der Punkte , und um den Vektor entstehen die Punkte , und . Verbindet man die entsprechenden Eckpunkte der Dreiecke und , so entsteht das Prisma
Teilaufgabe 2a (6 BE)
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes und zeichnen Sie das Prisma in ein Koordinatensystem ein. (vgl. Skizze; Platzbedarf: ganze Seite; Ursprung in Blattmitte) [Ergebnis: ]

Teilaufgabe 2b (7 BE)
Zeigen Sie, dass der Verschiebungsvektor zur Grundfläche senkrecht steht, und bestimmen Sie das Volumen des Prismas.
Teilaufgabe 2c (6 BE)
Das Rechteck ist eine Seitenfläche des Prismas. Die Diagonalen des Rechtecks schneiden sich im Punkt . Begründen Sie, dass alle Ecken des Prismas auf einer Kugel um liegen.
Teilaufgabe 2d (4 BE)
Geben Sie zwei Punkte an, die zusammen mit eine Ebene festlegen, die das Prisma in zwei volumengleiche Teile teilt. Begründen Sie Ihre Antwort.
Lösungen zu:
Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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