Abitur 2010 Mathematik GK Analytische Geometrie VI

In einem kartesischen Koordinatensystem mit Ursprung

O

sind die Punkte

A (7 | 5 | 1)

B (2 | - 5 | 6)

und die Gerade

g : \vec{x} = \vec{O A} + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

λ \in ℝ

, gegeben.

Teilaufgabe 1a (2 BE)

Zeigen Sie, dass der Punkt

B

nicht auf der Geraden

g

liegt.

Teilaufgabe 1b (6 BE)

Die Ebene

E

enthält den Punkt

B

und die Gerade

g

. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene

E

in Normalenform. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat die Ebene

E

?
[mögliches Ergebnis:

2 x_{1} - x_{2} - 9 = 0

]

Teilaufgabe 1c (5 BE)

Der Punkt

C

ist Fußpunkt des Lotes vom Punkt

B

auf die Gerade

g

. Berechnen Sie die Koordinaten von

C

.
[Ergebnis:

C (2 | - 5 | 1)

]

Teilaufgabe 1d (4 BE)

M

ist der Mittelpunkt der Strecke

[A B]

K

ist die Kugel mit Mittelpunkt

M

und Radius

\frac{1}{2} \bar{A B}

. Begründen Sie, dass die Gerade

g

die Kugel

K

in den Punkten

A

und

C

schneidet.

Durch Verschiebung der Punkte

A

B

und

C

um den Vektor

(\begin{matrix} - 4 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

entstehen die Punkte

A^{'}

B^{'}

und

C^{'}

. Verbindet man die entsprechenden Eckpunkte der Dreiecke

A B C

und

A^{'} B^{'} C^{'}

, so entsteht das Prisma

A B C A^{'} B^{'} C^{'}

Teilaufgabe 2a (6 BE)

Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes

A^{'}

und zeichnen Sie das Prisma

A B C A^{'} B^{'} C^{'}

in ein Koordinatensystem ein. (vgl. Skizze; Platzbedarf: ganze Seite; Ursprung in Blattmitte) [Ergebnis:

A^{'} (3 | 7 | 1)

]

Teilaufgabe 2b (7 BE)

Zeigen Sie, dass der Verschiebungsvektor

A A^{'}

zur Grundfläche

A B C

senkrecht steht, und bestimmen Sie das Volumen des Prismas.

Teilaufgabe 2c (6 BE)

Das Rechteck

A A^{'} B^{'} B

ist eine Seitenfläche des Prismas. Die Diagonalen des Rechtecks schneiden sich im Punkt

N

. Begründen Sie, dass alle Ecken des Prismas auf einer Kugel um

N

liegen.

Teilaufgabe 2d (4 BE)

Geben Sie zwei Punkte an, die zusammen mit

C

eine Ebene festlegen, die das Prisma in zwei volumengleiche Teile teilt. Begründen Sie Ihre Antwort.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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