Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik NT Stochastik S I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 4.2 (6 BE)

Aus aktuellen Beobachtungen schließt der Herbergsvater, dass der Anteil der vegetarischen Gerichte zugenommen hat (Gegenhypothese). Um seinen Eindruck zu untermauern, führt er einen Test an

200

zufällig ausgewählten Essensbestellungen durch.
Geben Sie für diesen Test die Testgröße sowie die Nullhypothese an und bestimmen Sie auf dem

5

%-Niveau den maximalen Ablehnungsbereich der Nullhypothese. Ermitteln Sie für diesen Fall auch die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art.

Lösung zu Teilaufgabe 4.2

Hypothesentest - Fehler erster Art

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Text analysieren und Daten herauslesen:

T

: Anzahl der vegetarischen Gerichte von 200

Nullhypothese:

H_{0} : p_{0} = 0, 03

Gegenhypothese:

H_{1} : p_{1} > 0, 03

Stichprobenumfang:

n = 200

Signifikanzniveau:

α = 5 %

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Gegenhypothese

Da hier die Gegenhypothese "

p_{1} > 0, 03

" bzw. "Anteil der vegetarischen Gerichte hat zugenommen" lautet, liegt der Annahmebereich links und der Ablehnungsbereich rechts.

Annahmebereich von

H_{0}

A = [0, k]

Ablehnungsbereich von

H_{0}

\bar{A} = [k + 1, 200]

Fehler 1. Art:

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Fehler 1.Art

Man spricht von "Fehler 1. Art", wenn die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird (s. auch Merkhilfe Mathematik).

Das ist der Fall, wenn

H_{0}

wahr ist, man sich aber gegen

H_{0}

entscheidet, da das Stichprobenergebnis zufällig im Ablehnungsbereich liegt (hier:

T \geq k + 1

\Rightarrow

Fehler erster Art:

P_{0, 03}^{200} (T \geq k + 1) \leq 0, 05

P_{0, 03}^{200} (T \geq k + 1) \leq 0, 05

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Gegenereignis

Betrachtung des Gegenereignisses:

P ("mindestens k + 1 Treffer") = 1 - P ("höchstens k Treffer")

In mathematischen Zeichen:

P (X \geq k + 1) = 1 - P (X \leq k)

1 - P_{0, 03}^{200} (T \leq k) \leq 0, 05

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Rechenweg

1 - P_{0, 03}^{200} (T \leq k) \leq 0, 05

|

- 1

- P_{0, 03}^{200} (T \leq k) \leq - 0, 95

|

\cdot (- 1)

(Das Relationszeichen dreht sich, da mit einer negativen Zahl multipliziert wird.)

P_{0, 03}^{200} (T \leq k) \geq 0, 95

P_{0, 03}^{200} (T \leq k) \geq 0, 95

Aus dem Tafelwerk ablesen:

k \geq 10

Entscheidungsregel:

Max. Ablehnungsbereich:

\bar{A} = {11, \dots, 200}

Wahrscheinlichkeit beim Fehler 1. Art:

α^{'} = P_{0, 03}^{200} (T \geq 11) = 1 - P_{0, 03}^{200} (T \leq 10) = 1 - 0, 95987 = 0, 04013

(Wert wird im Tafelwerk abgelesen)

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Themen dieser Aufgabe:

Hypothesentest - Fehler erster Art

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