Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik NT Stochastik S I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 4.1 (8 BE)

Zum Mittagessen wählen erfahrungsgemäß

3

% der Gäste ein vegetarisches Gericht.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

E_{2}

: "Von

50

Gästen wählen mehr als

3

das vegetarische Gericht."

E_{3}

: "Die Zahl der vegetarischen Essen bei

100

Gästen liegt innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert."

E_{4}

: "Von

100

Gästen essen

99

nicht das vegetarische Gericht."

Lösung zu Teilaufgabe 4.1

Binomialverteilung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_{2}$ :

Schritt einblenden / ausblenden

Bernoulli-Kette

Im Falle von

E_{2}

kann das Zufallsexperiment als Bernoulli-Kette der Länge

n = 50

mit der Trefferwahrscheinlichkeit

p = 0, 03

angesehen werden.

"Von 50 Gästen wählen mehr als 3 das vegetarische Gericht."

\Rightarrow

X > 3

P (E_{2}) = P_{0, 03}^{50} (X > 3)

Schritt einblenden / ausblenden

Gegenereignis

Betrachtung des Gegenereignisses:

P ("mehr als k Treffer") = 1 - P ("höchstens k Treffer")

In mathematischen Zeichen:

P (X > k) = 1 - P (X \leq k)

P (E_{2}) = 1 - P_{0, 03}^{50} (X \leq 3) \overset{TW}{=} 1 - 0, 93724 = 0, 06276

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_{3}$ :

n = 100

;

p = P ("vegetarisches Gericht") = 0, 03

Schritt einblenden / ausblenden

Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße

Der Erwartungswert

E (X)

einer binomialverteilten Zufallsgröße

X

ist gegeben durch:

E (x) = n \cdot p

(binomialverteilt = es gibt zwei mögliche Ausgänge. Hier: Gast wählt vegetarisches Gericht (Treffer) oder nicht (Niete).)

(s. auch Merkhilfe Mathematik)

μ = E (X) = 100 \cdot 0, 03 = 3

Schritt einblenden / ausblenden

Standardabweichung einer Zufallsgröße

Die Standardabweichung

σ

einer Zufallsgröße

X

entspricht der Wurzel aus der Varianz

V a r (X)

σ = \sqrt{V a r (X)}

Die Varianz einer binomialverteilten Zufallsgröße

X

ist gegeben durch:

V a r (X) = n \cdot p \cdot \underset{q}{\underset{︸}{(1 - p)}}

(s. auch Merkhilfe Mathematik)

σ = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{100 \cdot 0, 03 \cdot 0, 97} \approx 1, 71

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Erläuterung

"innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert" =

| X - μ | < σ

Die Ungleichung

| X - μ | < σ

ist gleichbedeutend zu

μ - σ < X < μ + σ

P (E_{3}) = P (| X - μ | < σ)

P (E_{3}) = P (μ - σ < X < μ + σ)

P (E_{3}) = P (1, 29 < X < 4, 71)

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Zufallsgröße

X

gibt in diesem Fall die Anzahl der bestellten veg. Gerichte an. Da ein Gericht nur ganz bestellt werden kann, muss hier auf ganze Zahlen gerundet werden.

P (E_{3}) = P (2 \leq X \leq 4)

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Wenn

X

zwischen 2 und 4 liegen soll, dann kann

X

entweder gleich 2 oder 3 oder 4 sein.

P (E_{3}) = P_{0, 03}^{100} (X = 2) + P_{0, 03}^{100} (X = 3) + P_{0, 03}^{100} (X = 4)

P (E_{3}) \overset{TW}{=} 0, 22515 + 0, 22747 + 0, 17061 = 0, 62323

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_{4}$ :

Schritt einblenden / ausblenden

Bernoulli-Kette

Im Falle von

E_{4}

kann das Zufallsexperiment als Bernoulli-Kette der Länge

n = 100

mit der Trefferwahrscheinlichkeit

p = P ("kein vegetarisches Gericht") = 1 - 0, 03 = 0, 97

angesehen werden.

"Von 100 Gästen essen 99 nicht das vegetarische Gericht."

\Rightarrow

X = 99

P (E_{4}) = P_{0, 97}^{100} (X = 99) \overset{TW}{=} 0, 14707

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Themen dieser Aufgabe:

Binomialverteilung

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