Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik GK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2a (5 BE)

Bei der Rotation des rechtwinkligen Dreiecks

F C S

um die Achse

F S

entsteht ein gerader Kegel

K_{1}

. Berechnen Sie das Volumen dieses Kegels.

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Volumen eines Kegels

F (2 | 1 | 1)

S (- 3 | 3 | 8)

C (5 | 5 | 2)

\vec{F S} = \vec{O S} - \vec{O F} = (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ 8 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 5 \\ 2 \\ 7 \end{matrix})

\vec{F C} = \vec{O C} - \vec{O F} = (\begin{matrix} 5 \\ 5 \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{matrix})

Höhe des Kegels

K_{1}

bestimmen:

h = \bar{F S}

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \Rightarrow | \vec{a} | = \bar{a} = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} = \sqrt{{\begin{matrix} a_{1} \end{matrix}}^{2} + {\begin{matrix} a_{2} \end{matrix}}^{2} + {\begin{matrix} a_{3} \end{matrix}}^{2}}

= \sqrt{{(\begin{matrix} - 5 \\ 2 \\ 7 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{25 + 4 + 49} = \sqrt{78}

Grundfläche des Kegels

K_{1}

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Grundfläche

G

des Kegels

K_{1}

besteht aus einem Kreis um den Punkt

F

mit Radius

r = \bar{F C}

G = r^{2} \cdot π = {\bar{F C}}^{2} \cdot π

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \Rightarrow | \vec{a} | = \bar{a} = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} = \sqrt{{\begin{matrix} a_{1} \end{matrix}}^{2} + {\begin{matrix} a_{2} \end{matrix}}^{2} + {\begin{matrix} a_{3} \end{matrix}}^{2}}

= {(\sqrt{{(\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{matrix})}^{2}})}^{2} \cdot π = {\sqrt{9 + 16 + 1}}^{2} \cdot π = {\sqrt{26}}^{2} \cdot π = 26 \cdot π

Volumen des Kegels

K_{1}

berechnen:

V_{K_{1}} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot {\bar{F C}}^{2} \cdot π \cdot \bar{F S} = \frac{1}{3} \cdot 26 \cdot π \cdot \sqrt{78} \approx 240, 5

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Themen dieser Aufgabe:

Volumen eines Kegels

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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