Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik GK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1d (6 BE)

Bestätigen Sie, dass die Gerade

F S

senkrecht auf der Ebene

E

steht, und begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass der Punkt

F

auf dem Kreis in der Ebene

G

mit Durchmesser

[S C]

liegt.

Lösung zu Teilaufgabe 1d

Lagebeziehung Gerade und Ebene

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

F (2 | 1 | 1)

S (- 3 | 3 | 8)

\vec{F S} = \vec{O S} - \vec{O F} = (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ 8 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 5 \\ 2 \\ 7 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenvektor

Wenn der Vektor

\vec{F S}

senkrecht auf der Ebene

E_{A B C}

steht, dann ist er Normalenvektor der Ebene.

Prüfen ob

\vec{F S}

Normalenvektor der Ebene

E_{A B C}

ist:

\vec{F S} \cdot \vec{A B} = (\begin{matrix} - 5 \\ 2 \\ 7 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}) = 0

\vec{F S} \cdot \vec{A C} = (\begin{matrix} - 5 \\ 2 \\ 7 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}) = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Die Skalarmultiplikation zweier aufeinander senkrecht stehende Vektoren, ist gleich Null.

Somit liegt

\vec{F S}

senkrecht auf beiden Richtungsvektoren der Ebene

E_{A B C}

\Rightarrow \vec{F S} = {\vec{n}}_{E}

und somit steht

\vec{F S}

senkrecht auf der Ebene

E_{A B C}

Ebene aus drei Punkte

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

A (1 | 2 | 0)

B (3 | 0 | 2)

C (5 | 5 | 2)

Richtungsvektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

der Ebene

E_{A B C}

bestimmen:

\vec{a} = \vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix})

\vec{b} = \vec{A C} = \vec{O C} - \vec{O A} = (\begin{matrix} 5 \\ 5 \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})

Ortsvektor

{\vec{x}}_{0}

der Ebene

E_{A B C}

ist

\vec{O A} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Ebenengleichung

Eine Ebene E ist durch einen Ortsvektor

\vec{x_{0}}

und zwei Richtungsvektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

eindeutig bestimmt. Die Ebenengleichung lautet

E : \vec{x} = \vec{x_{0}} + α \cdot \vec{a} + β \cdot \vec{b}

α, β \in ℝ

\Rightarrow E_{A B C} : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}) + ν \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})

Thaleskreis

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Das Dreieck

F S C

ist nach Konstruktion rechtwinklig im Punkt

F

, und somit liegt

F

auf dem Thaleskreis über der Strecke

S C

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

Lösung als Video:

Lösung als Video

Themen dieser Aufgabe:

Lagebeziehung Gerade und Ebene

Ebene aus drei Punkte

Thaleskreis

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!