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Abitur 2008 Mathematik GK Analytische Geometrie VI
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In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte , und ein Dreieck in einer Ebene fest. Die Gerade enthält den Punkt und besitzt den Richtungsvektor .
Teilaufgabe 1a (7 BE)
Zeigen Sie, dass das Dreieck gleichschenklig ist, und berechnen Sie alle Innenwinkel dieses Dreiecks.
Teilaufgabe 1b (5 BE)
Weisen Sie nach, dass der Punkt Mittelpunkt der Strecke ist, und ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene in Normalenform, bezüglich der die Punkte und zueinander symmetrisch sind.
[mögliches Teilergebnis: ]
[mögliches Teilergebnis: ]
Teilaufgabe 1c (4 BE)
Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden mit der Ebene .
[Ergebnis: ]
[Ergebnis: ]
Teilaufgabe 1d (6 BE)
| Bestätigen Sie, dass die Gerade senkrecht auf der Ebene steht, und begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass der Punkt auf dem Kreis in der Ebene mit Durchmesser liegt. |  |
Teilaufgabe 2a (5 BE)
Bei der Rotation des rechtwinkligen Dreiecks um die Achse entsteht ein gerader Kegel . Berechnen Sie das Volumen dieses Kegels.
Teilaufgabe 2b (6 BE)
Der Kegel schneidet die Ebene im Dreieck . Berechnen Sie die Koordinaten von und zeichnen Sie das Dreieck in wahrer Größe (1 LE entspricht 1 cm; sinnvolle Rundung der Längen).
Teilaufgabe 2c (4 BE)
Es sei der Radius der größten Halbkugel mit Grundfläche in , die dem Kegel einbeschrieben werden kann.
Beschreiben Sie einen Weg zur rechnerischen Bestimmung von (Rechnung nicht erforderlich).
Beschreiben Sie einen Weg zur rechnerischen Bestimmung von (Rechnung nicht erforderlich).
Teilaufgabe 2d (3 BE)
Lässt man das Dreieck um die Achse rotieren, so entsteht ein Kegel .
Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass folgende Schlussfolgerung falsch ist: "Weil bei im Vergleich zu Höhe und Grundkreisradius nur vertauscht sind, müssen und das gleiche Volumen besitzen."
Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass folgende Schlussfolgerung falsch ist: "Weil bei im Vergleich zu Höhe und Grundkreisradius nur vertauscht sind, müssen und das gleiche Volumen besitzen."
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