Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik GK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1a (7 BE)

In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte

A (1 | 2 | 0)

B (3 | 0 | 2)

und

C (5 | 5 | 2)

ein Dreieck in einer Ebene

E

fest. Die Gerade

g

enthält den Punkt

B

und besitzt den Richtungsvektor

\vec{u} = (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

Zeigen Sie, dass das Dreieck

A B C

gleichschenklig ist, und berechnen Sie alle Innenwinkel dieses Dreiecks.

Lösung zu Teilaufgabe 1a

Nachweis - gleichschenkliges Dreieck

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

A (1 | 2 | 0)

B (3 | 0 | 2)

C (5 | 5 | 2)

\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix})

\vec{A C} = \vec{O C} - \vec{O A} = (\begin{matrix} 5 \\ 5 \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})

\vec{B C} = \vec{O C} - \vec{O B} = (\begin{matrix} 5 \\ 5 \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 0 \end{matrix})

Länge der Seiten des Dreiecks

A B C

ausrechnen:

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \Rightarrow | \vec{a} | = \bar{a} = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} = \sqrt{{\begin{matrix} a_{1} \end{matrix}}^{2} + {\begin{matrix} a_{2} \end{matrix}}^{2} + {\begin{matrix} a_{3} \end{matrix}}^{2}}

\bar{A B} = | \vec{A B} | = \sqrt{{(\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12}

\bar{A C} = | \vec{A C} | = \sqrt{{(\begin{matrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29}

\bar{B C} = | \vec{B C} | = \sqrt{{(\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 0 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{4 + 25 + 0} = \sqrt{29}

\Rightarrow \bar{A C} = \bar{B C}

\Rightarrow

Das Dreieck

A B C

ist gleichschenklig.

Innenwinkel eines Dreiecks

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Winkel

α

zwischen den Vektoren

\vec{A C}

und

\vec{A B}

ausrechnen:

Schritt einblenden / ausblenden

Winkel zwischen zwei Vektoren

Das Skalarprodukt zweier Vektoren

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

und

\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})

ergibt sich aus der Summe der Komponenten der Vektoren:

\vec{a} \cdot \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}

Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes folgt:

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | = \cos \underset{α}{\underset{︸}{∡ (\vec{a}, \vec{b})}}

\Rightarrow \cos α = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}

\cos α = \frac{\vec{A C} \cdot \vec{A B}}{\bar{A C} \cdot \bar{A B}} = \frac{(\begin{matrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix})}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{12}} = \frac{6}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{12}}

\Rightarrow α = 71, 24^{\circ}

In einem Dreieck ist die Summe der inneren Winkeln gleich 180°, es folgt also:

\Rightarrow γ = 180^{\circ} - 2 α = 37, 52^{\circ}

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

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Themen dieser Aufgabe:

Nachweis - gleichschenkliges Dreieck

Innenwinkel eines Dreiecks

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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