Lösung Abitur Bayern 2007 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2c (4 BE)

Bei einem exponentiellen Wachstum dauert es immer gleich lang, bis sich die Funktionswerte verdoppeln. Berechnen Sie diese Verdopplungszeit im vorliegenden Fall.

Lösung zu Teilaufgabe 2c

Anwendungsaufgabe

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N (x) = a e^{b x}, N (0) = a

\Rightarrow N (x) = N (0) e^{b x}

\Rightarrow N (T_{1}) = 2 \cdot N (0) = N (0) e^{b T_{1}}

\Rightarrow 2 = e^{b T_{1}}

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Auflösen einer Exponentialgleichung

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

e^{x}

ist die Logarithmusfunktion

\ln x

, d.h.

\ln e^{x} = x

Beim Auflösen einer Exponentialgleichung greift man in der Regel auf das "Logarithmieren" zurück. Der Logarithmus wird auf beiden Seiten der Gleichung angewendet:

e^{x} = a \begin{matrix} \Rightarrow \\ ↑ \\ Logarithmieren \end{matrix} \ln e^{x} = \ln a \Rightarrow x = \ln a

\Rightarrow \ln 2 = \ln e^{b T_{1}}

\Rightarrow \ln 2 = b T_{1}

\Rightarrow T_{1} = \frac{\ln 2}{b} = \frac{\ln 2}{0, 48} \approx 1, 44

Zur Kontrolle:

Sei

T_{2}

der Zeitpunk in dem sich der Funktionswert

N (T_{1})

verdoppelt. Dann gilt:

N (T_{2}) = 2 \cdot N (T_{1}) = 2 \cdot 2 \cdot N (0) = N (0) e^{b T_{2}}

\Rightarrow 4 = e^{b T_{2}}

\Rightarrow \ln 4 = \ln e^{b T_{2}}

\Rightarrow \ln 4 = b T_{2}

\Rightarrow \frac{\ln 4}{b} = T_{2}

\Rightarrow \frac{\ln 2^{2}}{b} = T_{2}

\Rightarrow 2 \cdot \frac{\ln 2}{b} = T_{2} \Rightarrow 2 \cdot T_{1} = T_{2}

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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